Question

如图所示，对称轴为x=3的抛物线y=ax²+2x与x轴相交于点B，O．
（1）求抛物线的解析式，并求出顶点A的坐标；
（2）连接AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l．点P是l上一动点．设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当0＜S≤18时，求t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当t取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使△OPQ为直角三角形且OP为直角边？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的对称轴方程即可确定a的值，由此可得到抛物线的解析式，通过配方可求出顶点A的坐标；
（2）根据A、B的坐标，易求得直线AB的解析式，进而可确定直线l的解析式，即可表示出P点的坐标；由于P点的位置不确定，因此本题要分成两种情况考虑：
①P点位于第四象限，此时t＞0，四边形AOPB的面积可由△OAB和△OBP的面积和求得，由此可得到关于S、t的函数关系式，根据S的取值范围即可判断出t的取值范围；
②P点位于第二象限，此时t＜0，可分别过A、P作x轴的垂线，设垂足为N、M；那么四边形AOPB的面积即可由梯形APMN与△ABN的面积和再减去△OPM的面积求得，由此可得到关于S、t的函数关系式，可参照①的方法求出t的取值范围；
结合上面两种情况即可得到符合条件的t的取值范围；
（3）根据（2）的结论，可求出t的最大值，由此可得到P点的坐标；若△OPQ为直角三角形且OP为直角边，那么有两种情况需要考虑：①∠QOP=90°，②∠OPQ=90°；
可分别过Q、O作直线l的垂线m、n，由于互相垂直的两直线斜率的乘积为-1，根据直线l的解析式以及Q、O的坐标，即可求出直线m、n的解析式，联立抛物线的解析式即可求出Q点的坐标．

解答：解：（1）∵点B与O（0，0）关于x=3对称，
∴点B坐标为（6，0）．
将点B坐标代入y=ax²+2x得：
36a+12=0；
∴a=-

1

3

．
∴抛物线解析式为y=-

1

3

x2+2x．（2分）
当x=3时，y=-

1

3

×32+2×3=3；
∴顶点A坐标为（3，3）．（3分）
（说明：可用对称轴为x=-

b

2a

，求a值，用顶点式求顶点A坐标）

（2）设直线AB解析式为y=kx+b．
∵A（3，3），B（6，0），
∴

6k+b=0 3k+b=3

解得

k=-1 b=6

，
∴y=-x+6．
∵直线l∥AB且过点O，
∴直线l解析式为y=-x．
∵点P是l上一动点且横坐标为t，
∴点P坐标为（t，-t）．（4分）
当P在第四象限时（t＞0），
S=S_△AOB+S_△OBP
=

1

2

×6×3+

1

2

×6×|-t|
=9+3t．
∵0＜S≤18，
∴0＜9+3t≤18，
∴-3＜t≤3．
又∵t＞0，
∴0＜t≤3．（5分）
当P在第二象限时（t＜0），
作PM⊥x轴于M，设对称轴与x轴交点为N，
则S=S_梯形ANMP+S_△ANB-S_△PMO
=

1

2

[3+(-t)]•(3-t)+

1

2

×3×3-

1

2

(-t)(-t)
=

1

2

(t-3)2+

9

2

-

1

2

t2
=-3t+9；
∵0＜S≤18，
∴0＜-3t+9≤18，
∴-3≤t＜3；
又∵t＜0，
∴-3≤t＜0；（6分）
∴t的取值范围是-3≤t＜0或0＜t≤3．

（3）存在，点Q坐标为（3，3）或（6，0）或（-3，-9）．（9分）
由（2）知t的最大值为3，则P（3，-3）；
过O、P作直线m、n垂直于直线l；
∵直线l的解析式为y=-x，
∴直线m的解析式为y=x；
可设直线n的解析式为y=x+h，则有：
3+h=-3，h=-6；
∴直线n：y=x-6；
联立直线m与抛物线的解析式有：

y=x y=- 1 3 x2+2x

，
解得

x=0 y=0

，

x=3 y=3

；
∴Q₁（3，3）；
同理可联立直线n与抛物线的解析式，求得Q₂（6，0），Q₃（-3，-9）．
（说明：点Q坐标答对一个给1分）

点评：此题主要考查了一次函数、二次函数解析式的确定，函数图象交点及图形面积的求法等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大．