Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°AC=10cm，BC=15cm，点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动，点P，Q分另从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为t秒．
（1）当t=4时，求线段PQ的长度；
（2）当t为何值时，△PQC的面积等于16cm²？
（3）点O为AB的中点，连接OC，能否使得PQ⊥OC？若能，求出t值；若不能，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动，点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒，而t=4，由此可以用t表示AP、PC、CQ的长度，然后利用勾股定理即可求出PQ的长度；
（2）首先用t分别表示CP，CQ的长度，然后利用三角形的面积公式即可列出关于t的方程，解方程即可解决问题；
（3）能够使得PQ⊥OC，利用直角三角形的斜边中点的性质可以证明△ABC和△PCQ相似，然后利用相似三角形的性质列出关于t的方程，解方程即可求出t的值．

解答：解：（1）当t=4时，
∵点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动，点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动，
∴AP=4cm，PC=AC-AP=6cm、CQ=2×4=8cm，
∴PQ=

PC2+CQ2

=10cm；

（2）∵AP=t，PC=AC-AP=10-t、CQ=2t，
∴S_△PQC=

1

2

PC×CQ=t（10-t）=16，
∴t₁=2，t₂=8，
当t=8时，CQ=2t=16＞15，∴舍去，
∴当t=2时，△PQC的面积等于16cm²；

（3）能够使得PQ⊥OC，如图所示：
∵点O为AB的中点，∠ACB=90°，
∴OA=OB=OC（直角三角形斜边上中线定理），
∴∠A=∠OCA，
而∠OCA+∠QPC=90°，∠A+∠B=90°，
∴∠B=∠QPC，又∠ACB=∠PCQ=90°，
∴△ABC∽△QPC，
∴

CP

CB

=

CQ

CA

，
∴

10-t

15

=

2t

10

，
∴t=2.5s．
∴当t=2.5s时，PQ⊥OC．

点评：此题比较难，内容比较多，也是一个动点问题，考查了勾股定理、三角形的面积公式、相似三角形的性质与判定等知识，综合性很强，对于学生的能力要求比较高．