Question

如图，tan∠MAB=2，AB=6，点P为线段AB上一动点（不与点A、B重合）．过点P作AB的垂线交射线AM于点C，连接BC，作射线AD交射线CP于点D，且使得∠BAD=∠BCA，设AP=x
（1）写出符合题意的x的取值范围；
（2）点N在射线AB上，且△ADN∽△ABC，当x=2时，求PN的长；
（3）试用x的代数式表示PD的长．

Answer 1

分析：（1）由于点P为线段AB上一动点（不点A、B重合），则有0＜x＜6；
（2）由于△ADN∽△ABC，根据相似的性质得∠AND=∠ACB，而∠BAD=∠BCA，则∠AND=∠NAD，又DP⊥AN，可判断△DAN为等腰三角形，根据其性质有PN=PA=2；
（3）如左图过B点作BE⊥AC于点E，在Rt△ABE中，利用三角函数的定义tan∠EAB=

BE

AE

=2，得到BE=2AE，再利用勾股定理可计算出AE=

6 5

5

，则BE=

12 5

5

，在Rt△APC中运用同样的方法得到CP=2AP=2x，AC=

5

x，则CE=AC-AE=

5

x-

6 5

5

，再利用∠BAD=∠BCA可证得Rt△APD∽Rt△CEB，根据相似的性质得到

PD

BE

=

AP

CE

，即

PD

12 5 5

=

x

5 x- 6 5 5

，即可求出PD的长．

解答：解：（1）x的取值范围为：0＜x＜6；

（2）如右图，
∵△ADN∽△ABC，
∴∠AND=∠ACB，
∵∠BAD=∠BCA，
∴∠AND=∠NAD，
∵DP⊥AN，
∴△DAN为等腰三角形，
∴PN=PA，
当x=2时，PN=2；

（3）如左图，过B点作BE⊥AC于点E，
在Rt△ABE中，AB=6，
∵tan∠EAB=

BE

AE

=2，
∴BE=2AE，
∵AE²+BE²=AB²，
∴AE²+4AE²=36，解得AE=

6 5

5

，
∴BE=

12 5

5

，
在Rt△APC中，AP=x，
∵tan∠CAP=

CP

AP

=2，
∴CP=2AP=2x，
∴AC=

AP2+CP2

=

5

x，
∴CE=AC-AE=

5

x-

6 5

5

，
∵∠BAD=∠BCA，
∴Rt△APD∽Rt△CEB，
∴

PD

BE

=

AP

CE

，即

PD

12 5 5

=

x

5 x- 6 5 5

，
∴PD=

12x

5x-6

．

点评：本题考查了相似形综合题：运用相似比和勾股定理进行几何计算是常用的方法；理解三角函数值的定义和等腰三角形的判定与性质．