Question

【题目】如图1，已知：△ABD∽△ACE，∠ABD=∠ACE=90°，连接DE，O是DE的中点。

（1）连接OC,OB 求证：OB=OC；

（2）将△ACE绕顶点A逆时针旋转到图2的位置，过点E作EM∥AD交射线AB于点M，交射线AC于点N,连接DM,BC. 若DE的中点O恰好在AB上。

①求证：△ADM∽△AEN

②求证：BC∥AD

③若AC=BD=3,AB=4,△ACE绕顶点A旋转的过程中，是否存在四边形ADME矩形的情况？如果存在，直接写出此时BC的值，若不存在说明理由。

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②详见解析；③存在四边形ADME为矩形，此时BC=

【解析】

（1）延长CO交BD于点F，可证△CEO≌△FDO，则OC=OF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解；
（2）①根据平行的性质得∠DAM=∠EMA，可证△AOD≌△MOE，则AD=EM，根据平行四边形的判定定理可判断ADME是平行四边形，由平行四边形的性质可得∠ADM=∠AEN，由△ABD∽△ACE可得∠BAD=∠CAE，即可证△ADM∽△AEN；

②根据相似三角形对应边成比例可得 ，由比例的性质得 ，因为∠MAN=∠BAC，根据相似三角形的判定定理可证出△AMN∽△ABC，则∠AMN=∠ABC，根据同位角相等，两直线平行可得MN∥BC，根据平行于同一条直线的两直线平行可得BC∥AD；

③存在四边形ADME为矩形，此时BC=，如图，延长BC交AE于F，求出BF= ，CF= ，即可求得BC的值.

解：（1）延长CO交BD于点F

∵∠ABD=∠ACE=90°

∴CE∥BD

∴∠CEO=∠FDO

∵O是DE的中点

∴OE=OD

∵∠COE=∠DOF

∴△CEO≌△FDO

∴OC=OF

∵∠CBF=90°

∴BO=CF=OC ；

(2)①∵O是DE的中点

∴OE=OD

∵EM∥AD

∴∠DAM=∠EMA

∵∠AOD=∠MOE

∴△AOD≌△MOE

∴AD=EM

∵EM∥AD

∴四边形ADME是平行四边形

∴∠ADM=∠AEN

∵△ABD∽△ACE

∴∠BAD=∠CAE

∴△ADM∽△AEN ；

②∵△ADM∽△AEN

∴

∵△ABD∽△ACE

∴

∴

∴

∵∠MAN=∠BAC

∴△AMN∽△ABC

∴∠AMN=∠ABC

∴MN∥BC

∵MN∥AD

∴BC∥AD ；

③ 如图，存在四边形ADME为矩形，此时BC= .

故答案为：（1）详见解析；（2）①详见解析；②详见解析；③存在四边形ADME为矩形，此时BC= .