Question

如图，已知直线y=x与双曲线y=（k＞0）交于A，B两点，且点A的横坐标为4．
（1）求k的值及点B的坐标；
（2）若双曲线y=（k＞0）上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积．
（3）若点P在坐标轴上，且△APB为等腰三角形，那么这样的P点有多少个？请你直接写出其中的一个点的坐标（不需要求解过程）．

Answer 1

解：（1）∵直线y=x与双曲线y=（k＞0）交于A，B两点，且点A的横坐标为4，
∴y=×4=2，
∴A（4，2），
∴k=4×2=8；
∵反比例函数及正比例函数的图象均关于原点对称，
∴A、B两点关于原点对称，
∴B（-4，-2）；

（2）如图，∵由（1）知k=8，
∴反比例函数的解析式为：y=，
∵C点的纵坐标为8，
∴8=，解得x=1，
∴C（1，8），
分别过点C、A作CD⊥x轴，AE⊥x轴，连接OC，
∵A（4，2），C（1，8）
∴CD=8，AE=2，DE=4-1=3，
∴S_△AOC=S_△OCD+S_梯形AEDC-S_△AOE，即×8+（8+2）×3-×8=15．

（3）8个；
∵A（4，2），B（-4，-2），
∴AB==4，
当点P在x轴上时，设P（x，0），
若AP=AB，即=4，解得x=4±2，
∴P₁（4+2，0），P₂（4-2，0）；
当BP=AB时，=4，解得x=-4±2，
∴P₃（-4+2，0），P₄（-4-2，0）；
当点P在y轴上时，设P（0，y）
若AP=AB，即=4，解得y=±6，
∴P₅（0，6），P₆（0，-6）；
若BP=AB，即=4，解得y=±10，
∴P₇（0，10），P₈（0，-10），
综上所述，P点坐标为：P（0，6）、（0，-10）、（-2-4，0）、（-4+2，0）、（4-2，0）、（4+2，0）、（0，-6）、（0，10）．
分析：（1）把A点的横坐标代入直线y=x求出x的值即可得出A点坐标，再根据点A在反比例函数y=上即可得出k的值；由于反比例函数及正比例函数的图象均关于原点对称即可得出B点坐标；
（2）先由点C的纵坐标为8求出C点坐标，分别过点C、A作CD⊥x轴，AE⊥x轴，连接OC，则S_△AOC=S_△OCD+S_梯形AEDC-S_△AOE，故可得出结论．
（3）若AP=BP则点P在线段AB的垂直平分线上，与点P在坐标轴上相矛盾，故此种情况不存在，再分点P在x轴上与y轴上两种情况进行讨论即可．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数与一次函数的交点问题、三角形及梯形的面积公式、等腰三角形的性质等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论，不要漏解．