Question

如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，弦AC交OB于点D，E是OB延长线上一点，如果∠OAD=30°，ED=CE．
求证：EC是⊙O的切线．

Answer 1

分析：如图，连接CO，由于OC、OA是圆的半径，利用等腰三角形的性质得到∠A=∠OCA，而OA⊥OB，利用垂线的性质得到∠DOA+∠A=90°，又∠ODA=∠CDE，而EC=ED，再利用等腰三角形的性质得到∠ECD=∠EDC，最后利用等式的性质可以证明∠ECD+∠OCD=90°，接着利用切线的判定方法即可解决问题．

解答：证明：如图，连接CO，
∵OC、OA是圆的半径，
∴OC=OA，
∴∠A=∠OCA，
而OA⊥OB，
∴∠ODA+∠A=90°，
又∠ODA=∠CDE，
而EC=ED，
∴∠ECD=∠EDC，
∴∠ECD+∠OCD=90°，
∴OC⊥CE，
∴EC是⊙O的切线．

点评：此题主要考查了切线的判定，同时也利用了等腰三角形的性质，其中要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．