Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=8，AB=CD=10，BC=20．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）若点P从点B沿着B-C方向在BC边上以每秒2个单位的速度运动；点Q从点C沿着C-D-A的方向在CD、DA边以每秒2个单位的速度运动．若P、Q两点同时运动，当Q点到达A点时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t秒．
①在运动过程中是否存在四边形ABPQ是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
②当t为何值时，△ABP为等腰三角形？

Answer 1

解：（1）如图所示，过点A作等腰梯形的高AE
在Rt△ABE中，可得AE=8，
S_梯形ABCD=（8+20）•8=112；

（2）①若四边形ABPQ是平行四边形，则点Q必须在AD上，
假设其存在，
则由题意可得，2t=8-2（t-5），
解之得，t=4.5
因为4.5-5＜0，
所以运动过程中不存在这样的时刻使四边形ABPQ是平行四边形．
②要使△ABP为等腰三角形，可能AB=BP，AB=AP或AP=BP
当AB=BP时，即2t=10，解之得，t=5
当AB=AP时，由（1）可得，BP=12，即2t=12，t=6
当AP=BP时，如图所示，PE⊥AB
∵AB=10，∴BE=5，在Rt△PBE中，由（1）可求出∠B，
设BE=3x=5，则BP=5x，即2t=5x，
解之得，t=，
∴当t=5，t=6，t=时，△ABP均为等腰三角形．
分析：（1）要求梯形的面积，有上下底边的长，求出高即可，作高，在直角三角形中，运用勾股定理即可．
（2）①要使四边形ABPQ是平行四边形，则Q点必须在AD上，利用时间关系建立等式，解出时间t，看是否符合条件；
②△ABP为等腰三角形，则可能AB=AP，AB=BP或AP=BP，应分别进行讨论．
点评：熟练掌握等腰梯形的性质及判定．掌握平行四边形的判定定理，要使一个三角形为等腰三角形，则存在多种情况，应分类进行讨论．