Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD边的中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，交BC边于点E．过E作EH⊥AB，垂足为H．已知⊙O与AB边相切，切点为F．
（1）求证：OE∥AB；
（2）求证：EH=AB；
（3）若AD与⊙O也相切，如图二，已知BE（BC）=5，BH=3，求⊙O的半径．
（江苏苏州10年中考27题改编）

Answer 1

【答案】分析：（1）判断出∠B=∠OEC，根据同位角相等得出OE∥AB；
（2）连接OF，求出EH=OF=DC=AB．
（3）通过证明△OFB≌△OBC，再利用勾股定理即可得出⊙O的半径．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是等腰梯形∴∠B=∠C（1分）
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠C（1分）
∴∠OEC=∠B，
∴OE∥AB（1分）

（2）证明：连接OF
∵AB与⊙O相切于点F，∴∠OFB=90°（1分）
又∵EH⊥AB，OE∥AB
∴∠OEH=∠EHF=90°
∴四边形OFHE是矩形（1分）
∵OE=OF
∴四边形OFHE是正方形（1分）
∴EH=OE=（1分）


（3）解：连接OF、OB
∵AD与圆相切
∴∠ADC=90°
∵AD∥BC
∴∠DCB=90°
∴BC是⊙O的切线，
∵⊙O与AB边相切，
∴BF=BC=5（1分）
∵BH=3
∴HF=2，HC=4
过点O作OG⊥GH于点G，在△OGC中，设OC=r
可得r²-（4-r）²=2²（1分）
∴r=2.5（1分），
∴⊙O半径是2.5．
点评：本题考查了圆的切线性质，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形、矩形解决有关问题．