Question

19．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=-x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y=ax²+bx与直线y=-x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是线段AB上一个动点（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OB交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，过点P作PF⊥MC于点F，设PF的长为t．
①求MN与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）
②当t取何值时，连接ON，使∠BON=45°，直接写出t值．

Answer 1

分析 （1）利用已知得出A，B点坐标，进而利用待定系数法得出a，b的值，即可得出抛物线解析式；
（2）①利用已知得出AD=BD则∠BAD=∠ABD=45°，进而得出tan∠BOD=tan∠MPF，故 $\frac{BD}{OD}=\frac{MF}{PF}$=3，MF=3PF=3t，即可得出MN与t的函数关系；
②先作出辅助线，利用角平分线定理得出点N的坐标，进而得出点M的坐标，即可得出MN，利用①的结论得出时间t．

解答 解：（1）∵y=-x+4与x轴交于点A，
∴A（4，0），
∵点B的横坐标为1，且直线y=-x+4经过点B，
∴B（1，3），
∵抛物线y=ax²+bx经过A（4，0），B（1，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b=0}\\{a+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$ 
∴抛物线的解析式为y=-x²+4x
（2）①如图，

作BD⊥x轴于点D，延长MP交x轴于点E，
∵B（1，3），A（4，0），
∴OD=1，BD=3，OA=4，
∴AD=3，
∴AD=BD，
∵∠BDA=90°，∠BAD=∠ABD=45°，
∵MC⊥x轴，
∴∠ANC=∠BAD=45°，
∴∠PNF=∠ANC=45°，
∵PF⊥MC，
∴∠FPN=∠PNF=45°，
∴NF=PF=t，
∵∠DFM=∠ECM=90°，
∴PF∥EC，
∴∠MPF=∠MEC，
∵ME∥OB，
∴∠MEC=∠BOD，
∴∠MPF=∠BOD，
∴tan∠BOD=tan∠MPF，
∴$\frac{BD}{OD}=\frac{MF}{PF}$=3，
∴MF=3PF=3t，
∵MN=MF+FN，
∴MN=3t+t=4t；
②如图1，
过点O作OG⊥OB交BA延长线于G，
∴∠BOG=90°，
∵∠BON=45°，
∴ON是∠BOG角平分线，
∵B（1，3），
∴直线OB的解析式为y=3x，
∴直线OG的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x①，
∵直线AB解析式为y=-x+4②，
联立①②得，G（6，-2），
设N（n，-n+4）（1＜n＜6），
∵B（1，3），
∴BN=$\sqrt{（n-1）^{2}+（n-1）^{2}}=\sqrt{2（n-1）^{2}}$=$\sqrt{2}$（n-1），GN=OB=$\sqrt{（n-6）^{2}+（n-6）^{2}}$=$\sqrt{2}$（6-n）
OG=2$\sqrt{10}$，OB=$\sqrt{10}$，
∵ON是∠BOG角平分线，
∴$\frac{OB}{OG}=\frac{BN}{GN}$，
∴$\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}（n-1）}{\sqrt{2}（6-n）}$，
∴n=$\frac{8}{3}$，
∴N（$\frac{8}{3}$，$\frac{4}{3}$），
∴M（$\frac{8}{3}$，$\frac{32}{9}$），
∴MN=$\frac{32}{9}-\frac{4}{3}$=$\frac{20}{9}$，
由①知，MN=4t，
∴4t=$\frac{20}{9}$，
∴t=$\frac{5}{9}$，
∴∠BON=45°时，t的值为$\frac{5}{9}$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，角平分线定理，解本题的关键是用等角的同名三角函数建立方程，利用角平分线定理得出点N的坐标是解本题的难点．