Question

18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，以边AC上一点O为圆心，OA为半径作圆，恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AB=$\sqrt{3}$，点E是半圆AmF上一动点，连接AE、AD、DE，填空：
①当$\widehat{AE}$的长度是$\frac{2}{3}$π时，四边形ABDE是菱形；
②当$\widehat{AE}$的长度是$\frac{1}{3}$π或π时，△ADE是直角三角形．

Answer 1

分析 （1）首先连接OD，只要证明OD⊥BC即可证得结论；
（2）①当DE⊥AC时，四边形ABDE是菱形，求出∠AOE的度数，半径OD的长即可；
②分别从∠ADE=90°，∠DAE=90°，∠AED=90°去分析求解即可求得答案．

解答 （1）证明：如图1，连接OD，

∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，
∴AB=$\frac{1}{2}$BC，
∵D是BC的中点，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC，
∴AB=BD，
∴∠BAD=∠BDA，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠ODB=∠BAO=90°，
即OD⊥BC，
∴BD是⊙O的切线．

（2）解：①当DE⊥AC时，四边形ABDE是菱形；

如图2，设DE交AC于点M，连接OE，则DE=2DM，
∵∠C=30°，
∴CD=2DM，∴DE=CD=AB=$\frac{1}{2}$BC，
∵∠BAC=90°，
∴DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵AB=BD，
∴四边形ABDE是菱形；
∵AD=BD=AB=CD=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，
∴△ABD是等边三角形，OD=CD•tan30°=1，
∴∠ADB=60°，
∵∠CDE=90°-∠C=60°，
∴∠ADE=180°-∠ADB-∠CDE=60°，
∴∠AOE=2∠ADE=120°，
∴$\widehat{AE}$的长度为：$\frac{120•π•1}{180}$=$\frac{2}{3}$π；
故答案为：$\frac{2}{3}$π；

②若∠ADE=90°，则点E与点F重合，此时$\widehat{AE}$的长度为：$\frac{180•π•1}{180}$=π；
若∠DAE=90°，则DE是直径，则∠AOE=2∠ADO=60°，此时$\widehat{AE}$的长度为：$\frac{60•π•1}{180}$=$\frac{1}{3}$π；
∵AD不是直径，∴∠AED≠90°；
综上可得：当$\widehat{AE}$的长度是$\frac{1}{3}$π或π时，△ADE是直角三角形．
故答案为：$\frac{1}{3}$π或π．

点评 此题属于圆的综合题、切线的判定与性质、菱形的判定、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用用分类讨论思想思考问题，属于中考压轴题．