Question

6．如图，已知直线y=ax+b与双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点（A与B不重合），直线AB与x轴交于P（x₀，0），与y轴交于点C
（1）若b=y₁+1，点P的坐标为（6，0），且AB=BP，求A，B两点的坐标．
（2）探究证明x₁，x₂，x₀之间的关系．

Answer 1

分析 （1）过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，由平行线的性质结合AB=BP，可得出“DP=2EP，AD=BE”，再由反比例函数图象上点的坐标特征可得出OE=2OD，即得出D、E为线段OP的三等分点，从而找出点D，E的横坐标，再由相似三角形的性质得出$\frac{OC}{AD}=\frac{OP}{DP}$=$\frac{3}{2}$，结合C点的坐标即可得出结论；
（2）由A、B点在反比例函数图象上用x₁、x₂表示出y₁、y₂，利用相似三角形的性质得出$\frac{PE}{PD}=\frac{BE}{AD}$，带入数据整理后即可得出x₁，x₂，x₀之间的关系．

解答 解：（1）过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，如图所示．

∵AD⊥x轴，BE⊥x轴，
∴BE∥AD∥y轴．
∵AB=BP，
∴DE=EP，
∴DP=DE+EP=2EP，AD=2BE，
∴y₁=2y₂．
∵x₁y₁=x₂y₂=k，即2x₁y₂=x₂y₂，
∴x₂=2x₁，
∴OE=2OD，
∴OD=DE=EP．
又∵点P的坐标为（6，0），
∴OP=6，x₁=$\frac{1}{3}$OP=2，x₂=$\frac{2}{3}$OP=4．
∵AD∥y轴，
∴△PAD∽△PCO，
∴$\frac{OC}{AD}=\frac{OP}{DP}$=$\frac{3}{2}$，
又∵b=y₁+1，
∴点C的坐标为（0，y₁+1），
∴$\frac{OC}{AD}=\frac{{y}_{1}+1}{{y}_{1}}$，
解得：y₁=2．
∴y₂=1．
故点A的坐标为（2，2），点B的坐标为（4，1）．
（2）x₀=x₁+x₂．
证明：∵点A、B在反比例函数图象上，
∴y₁=$\frac{k}{{x}_{1}}$，y₂=$\frac{k}{{x}_{2}}$，
∵BE∥AD，
∴△PBE∽△PAD，
∴$\frac{PE}{PD}=\frac{BE}{AD}$，即$\frac{{x}_{0}-{x}_{2}}{{x}_{0}-{x}_{1}}=\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$，
∴x₀=x₁+x₂．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、平行线的性质以及相似三角形的判定及性质，解题的关键是：（1）求出OD=DE=EP；（2）找出比例关系$\frac{PE}{PD}=\frac{BE}{AD}$．本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，解决该题型题目时，根据相似三角形的性质找出边的比例关系是关键．