Question

9．如图1，在四边形ABCD中，M为AD边上一点，∠ABM=∠MCD=90°，点E、F分别为边AM、DM的中点．
（1）求证：AD=2（BE+CF）．
（2）如图2，已知AB=3，$BD=3\sqrt{6}$，$AD=5\sqrt{3}$，∠BMC=2∠A．
①求证：△ABM∽△DCM；
②求BM+CM的值．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的性质得到BE=$\frac{1}{2}$AM，CF=$\frac{1}{2}$DM，由线段的和差和等量代换即可得到结论；
（2）①设∠A=θ，则∠AMB=90°-θ，∠BMC=2θ，根据三角形的内角和得到∠DMC=90°-θ，即∠DMC=∠AMB，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；②延长AB、CD交于点O，过点D作DH⊥AB的延长线于H，设BH=x，则AH=x+3，根据勾股定理列方程得到 DH=$\sqrt{54-{x}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．

解答 （1）证明：如图1，∵∠ABM=∠MCD=90°，E、F分别为AM、DM的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$AM，CF=$\frac{1}{2}$DM，
∴BE+CF=$\frac{1}{2}$（AM+DM）=$\frac{1}{2}$AD，
即 AD=2（BE+CF）；

（2）①设∠A=θ，则∠AMB=90°-θ，∠BMC=2θ，
∴∠DMC=180°-∠BMA-∠BMC=180°-2θ-（90°-θ）=90°-θ
即∠DMC=∠AMB，
又∵∠ABM=∠MCD=90°，
∴△ABM∽△DCM；
②延长AB、CD交于点O，过点D作DH⊥AB的延长线于H，设BH=x，
则AH=x+3，

在Rt△BDH中，DH²=BD²-BH²=54-x²，
在Rt△ADH中，DH²=AD²-AH²=75-（x+3）²，
∴54-x²=75-（x+3）²，解得x=2，
故DH=$\sqrt{54-{x}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
由 ①知△ABM∽△DCM，
∴∠A=∠ADO，
∴OA=OD，
连结OM，
∵S_△OAD=$\frac{1}{2}$OA•DH，S_△AOM+S_△ODM=$\frac{1}{2}$OA•BM+$\frac{1}{2}$OD•CM，
∴OA•DH=OA•BM+OD•CM，
∴BM+CM=DH=$5\sqrt{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算，直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．