Question

【题目】如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E．若点Q是OC上与O、P不重合的另一点，则以下结论中，一定成立的是（填序号） ①PD=PE；②OC垂直平分DE；③QO平分∠DQE；④△DEQ是等边三角形．

Answer 1

【答案】①②③
【解析】解：如图，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC，
在△OPD和△OPE中，
，
∴△POD≌△POE，
∴OD=OE，DP=PE，故①正确，
∵PD=PE，OD=OE，
∴OC垂直平分DE，故②正确，
在△OQD和△OQE中，
，
∴△OQD≌△OQE，
∴∠OQE=∠OQD，DQ=QE，
∴OQ平分∠DQE，△DQE是等腰三角形，故③正确，④错误，
所以答案是①②③
【考点精析】通过灵活运用角平分线的性质定理和线段垂直平分线的性质，掌握定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上；垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线；线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等即可以解答此题．