Question

（2007•昌平区二模）已知：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，BD=4

3

．
（1）求证：AB=AD；
（2）求△BCD的面积．

Answer 1

分析：（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠2，再根据角平分线的定义可得∠2=∠3，然后求出∠1=∠3，再根据等角对等边即可得证；
（2）过点D作DE⊥BC于E，根据∠A=120°求出∠2=30°，然后在Rt△BDE中解直角三角形求出DE、DE的长度，在Rt△CDE中，解直角三角形求出CD的长，即可得到AD的长，然后根据等腰梯形的性质求出BC的长，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．

解答：（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AB=AD；

（2）解：过点D作DE⊥BC于E，
∵∠A=120°，
∴∠ABC=180°-∠A=180°-120°=60°，
∴∠2=∠3=

1

2

（180°-120°）=30°，
在Rt△BDE中，DE=

1

2

BD=2

3

，BE=

3

2

BD=

3

2

×4

3

=6，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠C=∠ABC=60°，
在Rt△CDE中，CD=DE÷sin60°=2

3

÷

3

2

=4，
∴AD=AB=CD=4，
∴BC=2（BE-AD）+AD=2（6-4）+4=8，
∴△BCD的面积=

1

2

BC•DE=

1

2

×8×2

3

=8

3

．

点评：本题考查了等腰梯形的性质，角平分线的定义，以及解直角三角形，（2）中作辅助线构造出直角三角形然后求出边BC的长度是解题的关键．