Question

4．如图1，对于平面上不大于90°的∠MON，我们给出如下定义：若点P在∠MON的内部或边界上，作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，则称PE+PF为点P相对于∠MON的“点角距离”，记为d（P，∠MON）．如图2，在平面直角坐标系xOy中，对于∠xOy，点P为第一象限内或两条坐标轴正半轴上的动点，且满足d（P，∠xOy）=5，点P运动形成的图形记为图形G．
（1）满足条件的其中一个点P的坐标是（5，0），图形G与坐标轴围成图形的面积等于$\frac{25}{2}$；
（2）设图形G与x轴的公共点为点A，已知B（3，4），M（4，1），求d（M，∠AOB）的值；
（3）如果抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c经过（2）中的A，B两点，点Q在A，B两点之间的抛物线上（点Q可与A，B两点重合），求当d（Q，∠AOB）取最大值时，点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据“点角距离”的定义得出符合题意的P点坐标以及图形G与坐标轴围成图形的面积；
（2）根据题意画出图形进而得出DM，ME的长即可得出答案；
（3）首先利用待定系数法求出二次函数解析式进而求当d（Q，∠AOB）=QG+QH的值，再利用二次函数最值求法得出答案．

解答 解：（1）由题意可得：满足条件的其中一个点P的坐标是（5，0）；
（说明：点P（x，y）的坐标满足x+y=5，0≤x≤5，0≤y≤5均可）
图形G与坐标轴围成图形的面积等于：$\frac{1}{2}$×5×5=$\frac{25}{2}$；
故答案为：（5，0），$\frac{25}{2}$；

（2）如图1，作ME⊥OB于点E，MF⊥x轴于点F，则MF=1，作MD∥x轴，交OB于点D，作BK⊥x轴于点K．
由点B的坐标为B（3，4），可求得直线OB对应的函数关系式为y=$\frac{4}{3}$x．
∴点D的坐标为D（$\frac{3}{4}$，1），DM=4-$\frac{3}{4}$=$\frac{13}{4}$．
∴OB=5，sin∠AOB=$\frac{BK}{OB}$=$\frac{4}{5}$，
sin∠MDE=sin∠AOB=$\frac{4}{5}$．
∴ME=DM•sin∠MDE=$\frac{13}{4}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{13}{5}$．
∴d（M，∠AOB）=ME+MF=$\frac{13}{5}$+1=$\frac{18}{5}$．

（3）∵抛物线y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+bx+c经过A（5，0），B（3，4）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=-\frac{1}{2}×{5}^{2}+5b+c}\\{4=-\frac{1}{2}×{3}^{2}+3b+c}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线对应的函数关系式为y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+2x+$\frac{5}{2}$．
如图2，作QC⊥OB于点G，QH⊥x轴于点H．作QN∥x轴，交OB于点N．
设点Q的坐标为Q（m，n），其中3≤m≤5，
则QH=n=-$\frac{1}{2}{m}^{2}$+2m+$\frac{5}{2}$．
同（2）得 sin∠QNG=sin∠AOB=$\frac{4}{5}$．
∴点N的坐标为N（$\frac{3}{4}$n，n），QN=m-$\frac{3}{4}$n．
∴QG=NQ•sin∠QNG=$\frac{4}{5}$（m-$\frac{3}{4}$n）=$\frac{4}{5}$m-$\frac{3}{5}$n．
∴d（Q，∠AOB）=QG+QH=$\frac{4}{5}$m-$\frac{3}{5}$n+n
=$\frac{4}{5}$m+$\frac{2}{5}$n
=$\frac{4}{5}$m+$\frac{2}{5}$（-$\frac{1}{2}$m²+2m+$\frac{5}{2}$）
=-$\frac{1}{5}$m²+$\frac{8}{5}$m+1
=-$\frac{1}{5}$（m-4）²+$\frac{21}{5}$．
∴当m=4（在3≤m≤5范围内）时，d（Q，∠AOB）取得最大值$\frac{21}{5}$．
此时点Q的坐标为（4，$\frac{5}{2}$）．

点评 此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数最值求法以及三角形面积求法等知识，正确根据题意表示出DG的长是解题关键．