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    2．如图1，将三角形纸片ABC沿折痕AD折叠，使得点C落在AB边的点G上，展开纸片沿折痕EF再次折叠，使点A和点D重合；
    如图2，将矩形纸片ABCD沿折痕EF折叠，使点D与点B重合；
    如图3，将矩形纸片ABCD沿折痕EF对折，展开后，将矩形ABEF与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F重合．
    （1）直接写图1中，四边形AEDF的形状：菱形．
    （2）猜想图2中四边形BEDF的形状，并说明理由．
    （3）如图3中，①若∠MFE=40°，求∠MNG的度数；②若MP=MN=PQ，请直接写出矩形长AD与宽AB的数量关系．

    分析 （1）先根据两次折叠，得出△AEF为等腰三角形，再根据EF垂直平分AD，得出AE=DE，AF=DF，最后可得四边形AEDF的四边相等，由此可判定四边形AEDF是菱形；
    （2）先根据折叠的性质得出DE=BE，DF=BF，再根据等角对等边得出DE=DF，最后根据“四条边相等的四边形为菱形”判定四边形BEDF是菱形；
    （3）①先根据直角三角形的两个锐角互余求得∠EMF，再根据折叠求得∠NMF的度数，最后根据平行线的性质求得∠MNG的度数；②先连接AF，根据菱形的性质以及等腰三角形的性质，判定Rt△MGF≌Rt△MEF，再根据∠MAG=∠MFG=∠MFE，求得∠EAF=30°，最后根据EF与AE的数量关系得到AB与AD的数量关系．

    解答 解：（1）四边形AEDF是菱形．
    证明：如图1，设AD与EF交于点G，
    由第一次折叠得，∠BAD=∠CAD，
    由第二次折叠得，AD被EF垂直平分，
    ∴∠AGE=∠AGF=90°，
    ∴∠AEF=∠AFE，
    ∴AE=AF，即△AEF为等腰三角形，
    ∵EF垂直平分AD，
    ∴AE=DE，AF=DF，
    ∴AE=DE=AF=DF，
    ∴四边形AEDF是菱形．
    故答案为：菱形；

    （2）四边形BEDF是菱形，
    理由：如图2，连接BD，由折叠的性质可知，BD被EF垂直平分，
    ∴DE=BE，DF=BF．
    ∵四边形ABCD是矩形，
    ∴AD∥BC，
    ∴∠BFE=∠DEF，
    由折叠得，∠BFE=∠DFE
    ∴∠DEF=∠DFE，
    ∴DE=DF，
    ∴DE=BE=DF=BF，
    ∴四边形BEDF是菱形；

    （3）①如图3，若∠MFE=40°，由折叠可知：∠EMF=90°-40°=50°，
    ∴∠NMF=（180°-50°）×$\frac{1}{2}$=65°，
    ∵MF∥NG，
    ∴∠MNG=180°-∠NMF=115°；
    ②矩形长AD与宽AB的数量关系为：AD=2$\sqrt{3}$AB
    理由：连接AF，则菱形ANFM中，MG⊥FG，∠MAG=∠MFG，MG=$\frac{1}{2}$MN，
    由折叠可得，MF=PF，EF⊥MP
    ∴ME=$\frac{1}{2}$MP
    ∴MG=ME
    在Rt△MGF和Rt△MEF中
    $\left\{\begin{array}{l}{MG=ME}\\{MF=MF}\end{array}\right.$
    ∴Rt△MGF≌Rt△MEF（HL）
    ∴∠MFG=∠MFE
    ∴∠MAG=∠MFG=∠MFE
    又∵∠MAG+∠MFG+∠MFE=90°
    ∴∠MAG=∠MFG=∠MFE=30°
    ∴直角三角形AEF中，$\frac{EF}{AE}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，即$\frac{EF}{AD}$=$\frac{1}{2\sqrt{3}}$
    ∵EF=AB
    ∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{1}{2\sqrt{3}}$
    即矩形长AD与宽AB的数量关系为：AD=2$\sqrt{3}$AB

    点评 本题以折叠为背景考查了轴对称的性质以及菱形的判断与性质，解决问题的关键是掌握菱形的判定方法．解题时注意：折叠的问题的本质是轴对称性质的运用，解题时要抓住“对应角相等，对应线段相等”这些等量关系．

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