Question

如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10，小明同学将一个足够大的透明的三角板的直角顶点放在BC的中点D处．
（1）若三角板的两边与△ABC的边AB、AC分别交于点E、F，求证：△DEF是等腰三角形．
（2）小明同学将三角板绕点D旋转，三角板的两边与△ABC的边AB、AC分别交于点E、F，请你探究四边形AEDF的面积是否变化？若没有变化，请求出四边形AEDF的面积；若有变化，请说明理由．
（3）小明同学继续旋转三角板，如图2，当点E、F分别在AB、CA延长线上时，设BE的长为X，四边形ADEF的面积为S，请探究S与x的函数关系式．

Answer 1

（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，D为BC中点，
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，
∴AD=DC=DB，AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∵∠EDA+∠ADF=90°，∠FDC+∠ADF=90°，
∴∠EDA=∠FDC，
在△AED和△CFD中

∴△AED≌△CFD（ASA），
∴ED=FD，
∴△DEF为等腰三角形；

（2）解：四边形ADEF的面积没有变化，
理由：如图1，∵△AED≌△CFD，
∴S_{四边形ADEF}=S_△AED+S_△ADF=S_△CFD+S_△ADF=S_△ADC=S_△ABC=50；

（3）解：如图2，由（1）中证明知∠ADF=∠BDE，∠FAD=∠EBD=135°，AD=BD，
同理△AFD≌△BED，
∴BE=AF=x，
过点D作DM⊥AB，垂足为M，则DM=AB，
题目中AB=10．DM=AB=5，
故四边形ADEF的面积S=S_△AEF+S_△AED=AE•AF+AE•DM=（x+10）x+（x+10）×5
即S=x²+x+25．
分析：（1）求出∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，AD=DC=DB，∠EDA=∠FDC，证△AED≌△CFD，推出ED=FD即可；
（2）四边形ADEF的面积没有变化，根据△AED≌△CFD求出S_{四边形ADEF}=S_△AED+S_△ADF=S_△ADC=S_△ABC，代入求出即可；
（3）由（1）中证明知∠ADF=∠BDE，∠FAD=∠EBD=135°，AD=BD，同理△AFD≌△BED，推出BE=AF=x，过点D作DM⊥AB，垂足为M，则DM=AB=5，得出四边形ADEF的面积S=S_△AEF+S_△AED=AE•AF+AE•DM，代入求出即可．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，主要考查学生的综合运用性质进行推理的能力．