【题目】如图,△ABC中,以BC为直径的圆交AB于点D,∠ACD=∠ABC.
(1)求证:CA是圆的切线;
(2)若点E是BC上一点,已知BE=6,tan∠ABC=,tan∠AEC=,求圆的直径.
【答案】解: (1)∵BC是直径,∴∠BDC=90°,∴∠ABC+∠DCB=90°,
∵∠ACD=∠ABC,∴∠ACD+∠DCB=90°,∴BC⊥CA,∴CA是圆的切线.
(2)在Rt△AEC中,tan∠AEC=,∴, ;
在Rt△ABC中,tan∠ABC=,∴, ;
∵BC-EC=BE,BE=6,∴,解得AC=,
∴BC=.即圆的直径为10.
【解析】试题分析:(1)根据圆周角定理BC得到∠BDC=90°,推出∠ACD+∠DCB=90°,即BC⊥CA,即可判断CA是圆的切线;
(2)根据锐角三角函数的定义得到tan∠AEC=,tan∠ABC=,推出AC=EC,BC=AC,代入BC﹣EC=BE即可求出AC,进一步求出BC即可.
试题解析:(1)证明:∵BC是直径,
∴∠BDC=90°,
∴∠ABC+∠DCB=90°,
∵∠ACD=∠ABC,
∴∠ACD+∠DCB=90°,
∴BC⊥CA,∴CA是圆的切线.
(2)解:在Rt△AEC中,tan∠AEC=,
∴,AC=EC,
在Rt△ABC中,tan∠ABC=,
∴,BC=AC,
∵BC﹣EC=BE,BE=6,
∴,
解得: ,
∴BC==10,
答:圆的直径是10.
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【题目】如图,C、D两点在以AB为直径的半圆O上,AD平分∠BAC,AB=20,AD=4,DE⊥AB于E.
(1)求DE的长.
(2)求证:AC=2OE.
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【题目】下列说法:①三点确定一个圆;②任何三角形有且只有一个内切圆;③相等的圆心角所对的弧相等;④正多边形一定是中心对称图形,其中真命题有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】如图,动点M、N同时从原点出发沿数轴做匀速运动,己知动点M、N的运动速度比是1:2(速度单位:1个单位长度/秒),设运动时间为t秒.
(1)若动点M向数轴负方向运动,动点N向数轴正方向运动,当t=2秒时,动点M运动到A点,动点N运动到B点,且AB=12(单位长度).
①在直线l上画出A、B两点的位置,并回答:点A运动的速度是 (单位长度/秒);点B运动的速度是 (单位长度/秒).
②若点P为数轴上一点,且PA﹣PB=OP,求的值;
(2)由(1)中A、B两点的位置开始,若M、N同时再次开始按原速运动,且在数轴上的运动方向不限,再经过几秒,MN=4(单位长度)?
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【题目】已知A和B两点在线段EF的中垂线上,且∠EBF=100°,∠EAF=70°,则∠AEB等于( )
A.95°
B.15°
C.95°或15°
D.170°或30°
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【题目】如图(1),已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过A的一条直线,且B,C在A,E的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E
(1)试说明:BD=DE+CE.
(2)若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD<CE),其余条件不变,问BD与DE,CE的关系如何?请直接写出结果;
(3)若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE),其余条件不变,问BD与DE,CE的关系如何?请直接写出结果,不需说明理由.
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