Question

如图，在等腰直角△ACB中，∠ACB=90°，AC=4，O是斜边AB的中点，点D、E分别是直角边AC、BC上的动点，且∠DOE=90°，DE交OC于点P．当AD=1时，OP=

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：易证△AOD≌△COE，则OD=0E，作OF⊥AC于点F，在直角△ODF中，利用勾股定理即可求得OD的长，然后证明

解答：解：作OF⊥AC于点F．
∵等腰直角△ACB中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，
∴OC⊥AB于点O，
∵OF⊥AC，
∴AF=CF=OF=

1

2

AC=2，
∴DF=AF-AD=2-1=1，
在直角△ODF中，OD=

OF2+DF2

=

22+12

=

5

．
∵∠AOD+∠COD=∠COD+∠COE，
∴∠AOD=∠COE，
在△AOD和△COE中，

∠A=∠OCB OA=OC ∠AOD=∠COE

，
∴△AOD≌△COE．
∴OD=OE=

5

，CE=AD=1．
∴△ODE是等腰直角三角形．
∴∠DEO=∠OCB=45°，
又∵∠COE=∠EOP，
∴△COE∽△EOP．
∴

OC

OE

=

OE

OP

，即

2 2

5

=

5

OP

，
解得：OP=

5

4

2

．
故答案是：

5

4

2

．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质以相似三角形的判定与性质，正确证明△ODE是等腰直角三角形，求得OE的长是关键．