Question

已知：如图，BD为⊙O的直径，点A是劣弧BC的中点，AD交BC于点E，连接AB．
（1）求证：AB²=AE•AD；
（2）过点D作⊙O的切线，与BC的延长线交于点F，若AE=2，ED=4，求EF的长．

Answer 1

分析：（1）点A是劣弧BC的中点，即可得∠ABC=∠ADB，又由∠BAD=∠EAB，即可证得△ABE∽△ADB，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得AB²=AE•AD；
（2）由（1）求得AB的长，又由BD为⊙O的直径，即可得∠A=90°，由DF是⊙O的切线，可得∠BDF=90°，在Rt△ABD中，求得tan∠ADB的值，即可求得∠ADB的度数，即可证得△DEF是等边三角形，则问题得解．

解答：解：（1）证明：∵点A是劣弧BC的中点，
∴∠ABC=∠ADB．（1分）
又∵∠BAD=∠EAB，
∴△ABE∽△ADB．（2分）
∴

AB

AE

=

AD

AB

．
∴AB²=AE•AD．（3分）

（2）解：∵AE=2，ED=4，
∵△ABE∽△ADB，
∴

AB

AE

=

AD

AB

，
∴AB²=AE•AD，
∴AB²=AE•AD=AE（AE+ED）=2×6=12．
∴AB=2

3

（舍负）．（4分）
∵BD为⊙O的直径，
∴∠A=90°．
又∵DF是⊙O的切线，
∴DF⊥BD．
∴∠BDF=90°．
在Rt△ABD中，tan∠ADB=

AB

AD

=

2 3

6

=

3

3

，
∴∠ADB=30°．
∴∠ABC=∠ADB=30°．
∴∠DEF=∠AEB=60°，∠EDF=∠BDF-∠ADB=90°-30°=60°．
∴∠F=180°-∠DEF-∠EDF=60°．
∴△DEF是等边三角形．
∴EF=DE=4．（5分）

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，圆的切线的性质，以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．