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    如图1，Rt△ABC中，∠A=90°，tanB=
    3
    4
    ，点P在线段AB上运动，点Q、R分别在线段BC、AC上，且使得四边形APQR是矩形．设AP的长为x，矩形APQR的面积为y，已知y是x的函数，其图象是过点（12，36）的抛物线的一部分（如图2所示）．

    （1）求AB的长；
    （2）当AP为何值时，矩形APQR的面积最大，并求出最大值．
    为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论：
    张明：图2中的抛物线过点（12，36）在图1中表示什么呢？
    李明：因为抛物线上的点（x，y）是表示图1中AP的长与矩形APQR面积的对应关系，那么，（12，36）表示当AP=12时，AP的长与矩形APQR面积的对应关系．
    赵明：对，我知道纵坐标36是什么意思了！
    孔明：哦，这样就可以算出AB，这个问题就可以解决了．请根据上述对话，帮他们解答这个问题．
    （1）当AP=12时，AP•PQ=36，
    ∴PQ=3，
    又在Rt△BPQ中，tanB=
    3
    4
    ，
    ∴
    PQ
    PB
    =
    3
    4

    ∴PB=4．
    ∴AB=16．

    （2）若AP=x，则PB=16-x，PQ=
    3
    4
    （16-x），
    ∴y=
    3
    4
    （16-x）x，
    整理得y=-
    3
    4
    （x-8）2+48．
    ∴当x=8时，y最大值=48．
    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图1，Rt△ABC中，斜边AB在x轴上，点C在y轴上，且OC=2，OA：OB=1：4，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点．
    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）若直线y=x+b与Rt△ABC相交，所截得的三角形面积是原Rt△ABC面积的
    3
    10
    ，求b的值；
    （3）将△OAC绕原点O逆时针旋转90°后得到△OEF，如图2，再将△OEF绕平面内某点旋转180°后得△MNQ（点M、N、Q分别与点E、F、O对应），使点M，N在抛物线上，求点M，N的坐标．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知抛物线y=
    1
    2
    x2-mx+2m-
    7
    2
    ．
    （1）试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点．
    （2）如图，当抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C，直线y=x-1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D．
    ①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
    ②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（其中b＞0，c＜0）的顶点P在x轴上，与y轴交于点Q，过坐标原点O，作OA⊥PQ，垂足为A，且OA=
    		2
    ，b+ac=3．
    （1）求b的值；
    （2）求抛物线的解析式．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在平面直角坐标系中，半径分别为3
    		3
    和
    		3
    的⊙O1和⊙O2外切于原点O，在x轴上方的两圆的外公切线AB与⊙O1和⊙O2分别切于点A、B，直线AB交y轴于点C．O2D⊥O1A于点D．
    （1）求∠O1O2D的度数；
    （2）求点C的坐标；
    （3）求经过O1、C、O2三点的抛物线的解析式；
    （4）在抛物线上是否存在点P，使△PO1O2为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，抛物线与y轴交于点A（0，4），与x轴交于B、C两点．其中OB、OC是方程的x2-10x+16=0两根，且OB＜OC．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）直线AC上是否存在点D，使△BCD为直角三角形．若存在，求所有D点坐标；反之说理；
    （3）点P为x轴上方的抛物线上的一个动点（A点除外），连PA、PC，若设△PAC的面积为S，P点横坐标为t，则S在何范围内时，相应的点P有且只有1个．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    函数y=-
    3
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    x2+3的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，过点A、B分别作y轴、x轴的平行线交直线y=kx于点M、N．
    （1）用k表示S△OBN：S△MAO的值．
    （2）当S△OBN=
    1
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    S△MAO时，求图象过点M、N、B的二次函数的解析式．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：填空题

    某涵洞的截面是抛物线型，如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y=-
    1
    4
    x2，当涵洞水面宽AB为12米时，水面到桥拱顶点O的距离为______米．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克．若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
    （1）若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，每千克核桃应降价多少元？
    （2）在（1）问的条件下，平均每天获利不变，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
    （3）写出每天总利润y与降价x元的函数关系式，为了使每天的利润最大，应降价多少元？

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