Question

【题目】如图（1）AC⊥AB，BD⊥AB，AB＝12cm，AC＝BD＝8cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝2时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由；

（2）在（1）的条件下，判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，并证明；

（3）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝50°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）△ACP与△BPQ全等，理由详见解析；（2）PC⊥PQ，证明详见解析；（3）当t＝2s，x＝2cm/s或t＝3s，x＝cm/s时，△ACP与△BPQ全等．

【解析】

（1）利用SAS定理证明△ACP≌△BPQ；

（2）根据全等三角形的性质判断线段PC和线段PQ的位置关系；

（3）分△ACP≌△BPQ，△ACP≌△BQP两种情况，根据全等三角形的性质列式计算．

（1）△ACP与△BPQ全等，

理由如下：当t＝2时，AP＝BQ＝4cm，

则BP＝12﹣4＝8cm，

∴BP＝AC＝8cm，

又∵∠A＝∠B＝90°，

在△ACP和△BPQ中，

，

∴△ACP≌△BPQ（SAS）．

（2）PC⊥PQ，

证明：∵△ACP≌△BPQ，

∴∠ACP＝∠BPQ，

∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．

∴∠CPQ＝90°，

即线段PC与线段PQ垂直．

（3）①若△ACP≌△BPQ，

则AC＝BP，AP＝BQ，

∴12﹣2t＝8，

解得，t＝2（s），

则x＝2（cm/s）．

②若△ACP≌△BQP，

则AC＝BQ，AP＝BP，

则2t＝×12，

解得，t＝3（s），则x＝8÷3＝（cm/s），

故当t＝2s，x＝2cm/s或t＝3s，x＝cm/s时，△ACP与△BPQ全等．