Question

3．已知直线l₁∥l₂，点A是l₁上的动点，点B在l₁上，点C、D在l₂上，∠ABC，∠ADC的平分线交于点E（不与点B，D重合）．
（1）若点A在点B的左侧，∠ABC=80°，∠ADC=60°，过点E作EF∥l₁，如图①所示，求∠BED的度数．
（2）若点A在点B的左侧，∠ABC=α°，∠ADC=60°，如图②所示，求∠BED的度数；（直接写出计算的结果）
（3）若点A在点B的右侧，∠ABC=α°，∠ADC=60°，如图③所示，求∠BED的度数．

Answer 1

分析 （1）根据BE、DE分别是∠ABC，∠ADC的平分线，得出∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠CDE=$\frac{1}{2}$∠ADC，再由平行线的性质得出∠BEF=∠ABE，同理可得出∠DEF=∠CDE，再由∠BED=∠BEF+∠DEF即可得出结论；
（2）过点E作EF∥AB，同（1）的证明过程完全相同；
（3）过点E作EF∥L₁，根据BE，DE分别是∠ABC、∠ADC平分线可知∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$α°，∠CDE=$\frac{1}{2}$∠ADC，再由EF∥L₁可知∠BEF=（180-$\frac{1}{2}$α）°．根据L₁∥L₂可知EF∥L₂，故∠DEF=∠CDE=30°，所以∠BED=∠BEF+∠DEF．

解答 解：（1）∵BE、DE分别是∠ABC，∠ADC的平分线，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×80°=40°，∠CDE=$\frac{1}{2}$∠ADC=$\frac{1}{2}$×60°=30°．
∵EF∥L₁，
∴∠BEF=∠ABE=40°．
∵L₁∥L₂
∴EF∥L₂
∴∠DEF=∠CDE=30°
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=40°+30°=70°；

（2）BE、DE分别是∠ABC，∠ADC的平分线，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$α°，∠CDE=$\frac{1}{2}$∠ADC=$\frac{1}{2}$×60°=30°．
∵EF∥L₁，
∴∠BEF=∠ABE=$\frac{1}{2}$α°．
∵L₁∥L₂，
∴EF∥L₂，
∴∠DEF=∠CDE=30°
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=$\frac{1}{2}$α°+30°，即∠BED=（$\frac{1}{2}$α+30）°；

（3）过点E作EF∥L₁，
∵BE，DE分别是∠ABC、∠ADC平分线，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$α°，∠CDE=$\frac{1}{2}$∠ADC=$\frac{1}{2}$×60°=30°．
∵EF∥L₁，
∴∠BEF=（180-$\frac{1}{2}$α）°．
又∵L₁∥L₂
∴EF∥L₂
∴∠DEF=∠CDE=30°
∴∠BED=∠BEF+∠DEF
=（180-$\frac{1}{2}$α+30）°
=（210-$\frac{1}{2}$α）°．

点评 本题考查的是平行线的性质，根据题意作出平行线，再由平行线的性质及三角形外角的性质即可得出结论．