Question

如图1，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．
（1）求证：△APB≌△DPC；
（2）求证：∠PAC=

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∠BAP；
（3）若将原题中的正方形ABCD变为等腰梯形ABCD（如图2），AD∥BC，且BA=AD=DC，形内一点P仍满足AP=AB，PB=PC，试问（2）中结论还成立吗？若成立请给予证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据全等三角形的判定定理可解．
（2）设∠PAC=x°，∠BAP=y°，可求出∠CAD=∠DCA=（60-x）°，∠PDC=y°，根据这个关系求出∠PAC=

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2

∠BAP．
（3）以D为圆心，DA为半径画圆，连接各线，再求出各角之间的关系即可．

解答：解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=∠DCB=90°，AB=CD，
∵BP=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∴∠ABP=∠DCP，
又∵AB=CD，BP=CP，
∴△ABP≌△DCP（SAS）．

（2）设∠PAC=x°，∠BAP=y°，则∠CAD=∠DCA=（60-x）°，∠PDC=y°．
由图形得，x+60=y+60-x，
∴y=2x，
∴∠PAC=

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2

∠BAP．

（3）以D为圆心，DA为半径画圆，设∠PAC=x°，∠BAP=y°，
则∠CAD=∠DCA=（60-x）°，∠PDC=y°．
由图形得，x+60=y+60-x，
∴y=2x，
∴∠PAC=

1

2

∠BAP．

点评：本题难度较大，综合了全等三角形的判定定理，等腰梯形以及圆的有关知识．