Question

4．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点E，点F在边AB上，连接CF交线段BE于点G，CG²=GE•GD．
（1）求证：∠ACF=∠ABD；
（2）连接EF，求证：EF•CG=EG•CB．

Answer 1

分析 （1）先根据CG²=GE•GD得出$\frac{CG}{GE}=\frac{GD}{CG}$，再由∠CGD=∠EGC可知△GCD∽△GEC，∠GDC=∠GCE．根据AB∥CD得出∠ABD=∠BDC，故可得出结论；
（2）先根据∠ABD=∠ACF，∠BGF=∠CGE得出△BGF∽△CGE，故$\frac{FG}{BG}=\frac{EG}{CG}$．再由∠FGE=∠BGC得出△FGE∽△BGC，进而可得出结论．

解答 证明：（1）∵CG²=GE•GD，
∴$\frac{CG}{GE}=\frac{GD}{CG}$．
又∵∠CGD=∠EGC，
∴△GCD∽△GEC．
∴∠GDC=∠GCE．
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC．
∴∠ACF=∠ABD．

（2）∵∠ABD=∠ACF，∠BGF=∠CGE，
∴△BGF∽△CGE．
∴$\frac{FG}{BG}=\frac{EG}{CG}$．
又∵∠FGE=∠BGC，
∴△FGE∽△BGC．
∴$\frac{FE}{BC}=\frac{EG}{CG}$．
∴FE•CG=EG•CB．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．