分析 (1)根据锐角三角函数求出∠FPG,最后求出∠EPF.
(2)先判断出Rt△PME≌Rt△PNF,再根据锐角三角函数求解即可,
(3)根据运动情况及菱形的性质判断求出AP最大和最小值.
解答 解:(1)过点P作PG⊥EF于点G,如图1所示.
∵PE=PF=6,EF=6$\sqrt{3}$,
∴FG=EG=3$\sqrt{3}$,∠FPG=∠EPG=$\frac{1}{2}$∠EPF.
在Rt△FPG中,sin∠FPG=$\frac{FG}{PF}$=$\frac{3\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴∠FPG=60°,
∴∠EPF=120°.
(2)过点P作PM⊥AB于点M,作PN⊥AD于点N,如图2所示.
∵AC为菱形ABCD的对角线,
∴∠DAC=∠BAC,AM=AN,PM=PN.
在Rt△PME和Rt△PNF中,PM=PN,PE=PF,
∴Rt△PME≌Rt△PNF,
∴ME=NF.
又AP=10,∠PAM=$\frac{1}{2}$∠DAB=30°,
∴AM=AN=APcos30°=10×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=5$\sqrt{3}$,
∴AE+AF=(AM+ME)+(AN-NF)=AM+AN=10$\sqrt{3}$.
(3)如图,
当点P在EF右边时,
∵∠BAD=60°,∠EPF=120°,
∴∠BAD+∠EPF=180°,
∴点A,E,P,F四点共圆,
∴AP是此圆的直径时,AP最大,
∵PE=PF,
∴EF⊥AC时,AP最大,
∴当EF⊥AC,点P在EF的右侧时,AP有最大值,
同理:当EF⊥AC,点P在EF的左侧时,AP有最小值,
设AC与EF交于点O,
∵PE=PF,
∴OF=$\frac{1}{2}$EF=3$\sqrt{3}$,
∵∠FPA=60°,
∴OP=3,
∵∠BAD=60°,
∴∠FAO=30°,
∴AO=9,
∴AP=AO+PO=12,
同理AP′=AO-OP=6,
∴AP的最大值为12,AP的最小值为6,
点评 此题是菱形的性质题,主要考查了菱形的性质,锐角三角函数,特殊角的三角函数,解本题的关键是作出辅助线.
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A. | 1±$\sqrt{6}$ | B. | $\sqrt{6}$-1 | C. | 1-$\sqrt{6}$ | D. | 1+$\sqrt{6}$ |
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A. | 0.833×106 | B. | 83.31×105 | C. | 8.331×105 | D. | 8.331×104 |
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A. | c>a>b | B. | b>a>c | C. | c>b>a | D. | b>c>a |
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