Question

【题目】如图，⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，且∠ACB＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边长依次为3，4，5，则⊙O的半径是_____．

Answer 1

【答案】2

【解析】

如图所示，先标⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边的切点分别为F、D、E，连接OD、OE，根据⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，得出AF＝AD，BE＝BF，CE＝CD，再根据OD⊥AD，OE⊥BC，∠ACB＝90°，得出四边形ODCE是正方形，最后设OD＝r，列出5+3﹣r＝4+r，求出r＝2即可．

解：如图所示，标⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边的切点分别为F、D、E，连接OD、OE，

∵⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，

∴AF＝AD，BE＝BF，CE＝CD，

OD⊥AD，OE⊥BC，

∵∠ACB＝90°，

∴四边形ODCE是正方形，

设OD＝r，则CD＝CE＝r，

∵BC＝3，

∴BE＝BF＝3﹣r，

∵AB＝5，AC＝4，

∴AF＝AB+BF＝5+3﹣r，

AD＝AC+CD＝4+r，

∴5+3﹣r＝4+r，

r＝2，

则⊙O的半径是2．

故答案为：2．