Question

如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，点F是CD延长线上一点，且DF=2cm．点P、Q分别从A、C同时出发，以1cm/s的速度分别沿边AB、CB向终点B运动，当一点运动到终点B时，另一点也停止运动．FP、FQ分别交AD于E、M两点，连接PQ、AC，设运动时间为t （s）．
（1）用含有t的代数式表示DM的长；
（2）设△FCQ的面积为y （cm²），求y与t之间的函数关系式；
（3）线段FQ能否经过线段AC的中点？若能，请求出此时t的值；若不能，请说明理由；
（4）设△FPQ的面积为S （cm²），求S与t之间的函数关系式，并回答：在t的取值范围内，S是如何随t的变化而变化的？

Answer 1

分析：已知FD、DC的长度，CQ=t，利用相关的相似三角形可以表示出DM的长度与t的关系式和y与t的关系式；s不能直接与t建立联系，可以用图形剪切法，s等于梯形PBCF的面积减去△PBQ和△FQC的面积，从而建立s与t的关系．

解答：解：（1）由图可知△FDM与△FCQ相似，

FD

FC

= 

DM

CQ

，CQ=t，所以DM=

1

5

t；（2分）

（2）S_△FCQ=

1

2

CQ×CF=

1

2

×t×10=5t；（4分）

（3）当DM=BQ时，四边形CMAQ为平行四边形，对角线互相平分，即

1

5

t=6-t，t=5；（6分）

（4）S_梯形FCBP=

1

2

×6×（10+8-t）=54-3t（7分）
S_△BPQ=

1

2

（8-t）（6-t）=

1

2

t2-7t+24（8分）
S=S_梯形FCBP-S_△FCQ-S_△BPQ=-

1

2

t2-t+30=-

1

2

(t+1)2+

61

2

（9分）
S随t的增大而减小．即：从t=0，S=30变化到t=6，S=6（10分）．

点评：此题为综合运用题，它要求学生要牢固掌握所学知识并灵活运用，有时候一个环节不清楚往往会导致后面的题不能完整作出．