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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    精英家教网已知：如图，抛物线y=ax2+bx-2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，OC=OA，△ABC的面积为2．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）若平行于x轴的动直线DE从点C开始，以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴、线段BC于点E、点D，同时动点P从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O运动．当点P运动到点O时，直线DE与点P都停止运动．连接DP，设点P的运动时间为t秒．
    ①当t为何值时，
    1
    ED
    +
    1
    OP
    的值最小，并求出最小值；
    ②是否存在t的值，使以P，B，D为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）求出C的坐标，得到A、B的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-4），代入点C的坐标求出a即可；
    （2）①由题意：CE=t，PB=2t，OP=4-2t，由ED∥BA得出
    ED
    OB
    =
    CE
    CO
    ，求出ED=2CE=2t，根据
    1
    ED
    +
    1
    OP
    =
    1
    2t
    +
    1
    4-2t
    =
    4
    2t(4-2t)
    =
    1
    -t2+2t
    ，求出即可；②以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况：
    BP
    AB
    =
    BD
    BC
    和
    BP
    BD
    =
    BC
    BA
    代入求出即可．
    解答：解：（1）如图，由抛物线y=ax2+bx-2得：C（0，-2），
    ∴OA=OC=2，
    ∴A（2，0），
    ∵△ABC的面积为2，
    ∴AB=2，
    ∴B（4，0），
    ∴设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-4），代入点C（0，-2），
    a=-
    1
    4
    ，
    精英家教网
    ∴抛物线的解析式为y=-
    1
    4
    (x-2)(x-4)=-
    1
    4
    x2+
    3
    2
    x-2    ，
    答：抛物线的解析式为y=-
    1
    4
    x2+
    3
    2
    x-2．

    （2）解：由题意：CE=t，PB=2t，OP=4-2t，
    ∵ED∥BA
    可得：
    ED
    OB
    =
    CE
    CO
    ，
    即
    ED
    4
    =
    CE
    2
    ，
    ∴ED=2CE=2t，
    ①
    1
    ED
    +
    1
    OP
    =
    1
    2t
    +
    1
    4-2t
    =
    4
    2t(4-2t)
    =
    1
    -t2+2t
    ，
    ∵当t=1时，-t2+2t有最大值1，
    ∴当t=1时
    1
    ED
    +
    1
    OP
    的值最小，最小值为1．
    答：当t为1时，
    1
    ED
    +
    1
    OP
    的值最小，最小值是1．

    ②解：由题意可求：CD=
    		5
    t    ，CB=2
    		5
    ，
    ∴BD=2
    		5
    -
    		5
    t    ，
    ∵∠PBD=∠ABC，
    ∴以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况：
    当
    BP
    AB
    =
    BD
    BC
    时，即
    2t
    2
    =
    2
    		5
    -
    		5
    t
    2
    		5
    ，
    解得：t=
    2
    3
    ，
    当
    BP
    BD
    =
    BC
    BA
    时，即
    2t
    2
    		5
    -
    		5
    t
    =
    2
    		5
    2
    ，
    解得：t=
    10
    7
    ，
    当t=
    2
    3
    或t=
    10
    7
    时，以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似．
    答：存在t的值，使以P，B，D为顶点的三角形与△ABC相似，t的值是
    2
    3
    或
    10
    7
    ．
    点评：本题主要考查对二次函数的最值，用待定系数法求二次函数的解析式，解一元一次方程，相似三角形的性质和判定，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，它们的横坐标分别为-1和3，精英家教网与y轴交点C的纵坐标为3，△ABC的外接圆的圆心为点M．
    （1）求这条抛物线的解析式；
    （2）求图象经过M、A两点的一次函数解析式；
    （3）在（1）中的抛物线上是否存在点P，使过P、M两点的直线与△ABC的两边AB、BC的交点E、F和点B所组成的△BEF和△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：如图，抛物线的顶点为点D，与y轴相交于点A，直线y=ax+3与y轴也交于点A，矩形ABCO的顶点B在精英家教网此抛物线上，矩形面积为12，
    （1）求该抛物线的对称轴；
    （2）⊙P是经过A、B两点的一个动圆，当⊙P与y轴相交，且在y轴上两交点的距离为4时，求圆心P的坐标；
    （3）若线段DO与AB交于点E，以点D、A、E为顶点的三角形是否有可能与以点D、O、A为顶点的三角形相似，如果有可能，请求出点D坐标及抛物线解析式；如果不可能，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•宁化县质检）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1-
    		3
    ，0）和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P′（1，3）处．
    （1）求原抛物线的解析式；
    （2）在原抛物线上，是否存在一点，与它关于原点对称的点也在该抛物线上？若存在，求满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
    （3）学校举行班徽设计比赛，九年级（5）班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P′作x轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比
    		5
    -1
    2
    （约等于0.618）．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：
    		5
    ≈2.236    ，
    		6
    ≈2.449    ，结果精确到0.001）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知，如图，抛物线y=ax2-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A，B，点A的坐标为（4，0）．
    （1）求该抛物线的解析式；
    （2）若点M在抛物线上，且△ABC与△ABM的面积相等，直接写出点M的坐标；
    （3）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；
    （4）若平行于x轴的动直线l与线段AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网已知，如图，抛物线y=x2+px+q与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA≠OB，OA=OC，设抛物线的顶点为点P，直线PC与x轴的交点D恰好与点A关于y轴对称．
    （1）求p、q的值．
    （2）在题中的抛物线上是否存在这样的点Q，使得四边形PAQD恰好为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
    （3）连接PA、AC．问：在直线PC上，是否存在这样点E（不与点C重合），使得以P、A、E为顶点的三角形与△PAC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

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