Question

15．已知关于x的一元二次方程x²-（k-3）x-k²=0．
（1）求证：无论k取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x₁，x₂是原方程的两根，且（x₁-x₂）²=8，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据△=（k-3）²+4k²，且（k-3）²、k²非负且不同时为0即可得出△＞0，此题得证；
（2）根据根与系数的关系得出x₁+x₂=k-3，x₁•x₂=-k²，再结合（x₁-x₂）²=8，即可得出关于k的一元二次方程，解方程即可得出结论．

解答 （1）证明：∵△=[-（k-3）]²-4×1×（-k²）=（k-3）²+4k²，
∵（k-3）²≥，4k²≥0，且两者不能同时为0，
∴△＞0，
故无论k取何值，原方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵x₁+x₂=k-3，x₁•x₂=-k²，
∴（x₁-x₂）²=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-4x₁•x₂=（k-3）²+4k²=8，即5k²-6k+1=0，
解得：k=1或k=$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）找出△=（k-3）²+4k²＞0（2）找出关于k的一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程的系数找出两根之和与两根之积是关键．