Question

如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，AB=4，BC=12，点E在边BA的延长线上，AE=2，点F在BC边上，EF与边AD相交于点G，DF⊥EF，设AG=x，DF=y．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）当AD=11时，求AG的长；
（3）如果半径为EG的⊙E与半径为FD的⊙F相切，求这两个圆的半径．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据AD∥BC，∠B=90°求出∠EAG=∠B=90°，在Rt△AEG中根据勾股定理可用x表示出EG的值，再根据平行线分线段成比例可得出=，进而可得到关于x、y的关系式，由二次根式有意义的条件求出x的取值范围即可；
（2）由△DFG∽△EAG可得到=，可用x表示出GD的值，再把AD=11代入即可求出x的值，进而得出AG的长；
（3）①当⊙E与⊙F外切时，EF=EG+FD=EG+FG，再由△DFG∽△EAG即可求出AG=AE=2，进而可得出⊙E与⊙F的半径；
②当⊙E与⊙F内切时，EF=FD-EG，再把EF、FD及ED的关系式代入即可求出x的值，由勾股定理即可求出两圆的半径．
解答：解：（1）∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠EAG=∠B=90°，
∴EG==，
∵=，
∴FG===，
∵∠DFG=∠EAG=90°，∠EGA=∠DGF，△DFG∽△EAG，
∴=，
∴=，
∴y关于x的函数解析式为y=，定义域为0＜x≤4．

（2）∵△DFG∽△EAG，
∴=，
∴=，
∴GD=．
当AD=11时，x+=11，x₁=1，x₂=，
经检验它们都是原方程的根，且符合题意，所以AG的长为1或．

（3）当⊙E与⊙F外切时，EF=EG+FD=EG+FG，
∴FD=FG，
∵△DFG∽△EAG，
∴∠E=∠AGE=∠FGD=∠GDF．
∴AG=AE=2；
∴⊙E的半径EG=，⊙F的半径FD=．
当⊙E与⊙F内切时，EF=FD-EG，
∴3=-，
∵≠0，
∴3=，
∴x=1，
∴⊙E的半径EG==，⊙F的半径FD=，
∴⊙E的半径为2，⊙F的半径为4；或⊙E的半径为，⊙F的半径为4．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质、勾股定理及两圆相切的性质，涉及面较广，难度较大，在解（3）时要注意分两圆外切与内切两种情况进行讨论．