Question

如图（1）、（2），A是半径为12cm的⊙O上的定点，动点P从A出发，以2π（cm/s）的速度沿圆周逆时针运动，当点P回到A时立即停止运动．
（1）如图（1），点B是OA延长线上一点，AB=OA，当点P运动时间为2s时，试证明直线BP是⊙O的切线；
（2）如图（2），当∠POA=90°时，求点P的运动时间．

Answer 1

分析：（1）直线BP与⊙O的位置关系是相切，根据已知可证得OP⊥BP，即直线BP与⊙O相切．
（2）当∠POA=90°时，点P运动的路程为⊙O周长的 14或 34，所以分两种情况进行分析；

解答：解：（1）如图，当点P运动的时间为2s时，直线BP与⊙O相切．理由如下：
当点P运动的时间为2s时，点P运动的路程为4πcm，连接OP，PA．
∵⊙O的周长为24πcm，
∴弧AP的长为⊙O周长的

1

6

，
∴∠POA=60°；
∵OP=OA，
∴△OAP是等边三角形，
∴OP=OA=AP，∠OAP=60°；
∵AB=OA，
∴AP=AB，
∵∠OAP=∠APB+∠B，
∴∠APB=∠B=30°，
∴∠OPB=∠OPA+∠APB=90°，
∴OP⊥BP，
∴直线BP与⊙O相切．

（2）当∠POA=90°时，点P运动的路程为⊙O周长的

1

4

或

3

4

，
设点P运动的时间为ts；
当点P运动的路程为⊙O周长的

1

4

时，2π•t=

1

4

•2π•12，
解得t=3；
当点P运动的路程为⊙O周长的

3

4

时，2π•t=

3

4

•2π•12，
解得t=9；
∴当∠POA=90°时，点P运动的时间为3s或9s．

点评：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．