【题目】已知如图,以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E,连接EO并延长交BC的延长线于点D,点F为BC的中点,连接EF.
(1)求证:EF是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为3,∠EAC=60°,求AD的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)AD=.
【解析】试题分析:(1)连接FO,由F为BC的中点,AO=CO,得到OF∥AB,由于AC是⊙O的直径,得出CE⊥AE,根据OF∥AB,得出OF⊥CE,于是得到OF所在直线垂直平分CE,推出FC=FE,OE=OC,再由∠ACB=90°,即可得到结论.
(2)证出△AOE是等边三角形,得到∠EOA=60°,再由直角三角形的性质即可得到结果.
试题解析:(1)如图1,连接FO,
∵F为BC的中点,AO=CO,
∴OF∥AB,
∵AC是⊙O的直径,
∴CE⊥AE,
∵OF∥AB,
∴OF⊥CE,
∴OF所在直线垂直平分CE,
∴FC=FE,OE=OC,
∴∠FEC=∠FCE,∠0EC=∠0CE,
∵∠ACB=90°,
即:∠0CE+∠FCE=90°,
∴∠0EC+∠FEC=90°,
即:∠FEO=90°,
∴FE为⊙O的切线;
(2)如图2,∵⊙O的半径为3,
∴AO=CO=EO=3,
∵∠EAC=60°,OA=OE,
∴∠EOA=60°,
∴∠COD=∠EOA=60°,
∵在Rt△OCD中,∠COD=60°,OC=3,
∴CD=,
∵在Rt△ACD中,∠ACD=90°,
CD=,AC=6,
∴AD=.
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【题目】下列说法中正确的有 ( )
①顶点在圆上的角是圆周角;②相等的圆周角所对的弧相等;③圆心角的度数等于它所对弧的度数;④圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送了2550张相片,如果全班有x名学生,根据题意,列出方程为( )
A. x(x+1)=2550 B. x(x﹣1)=2550×2
C. 2x(x+1)=2550 D. x(x﹣1)=2550
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【题目】下列命题正确的是( )
A. 对角线互相垂直的四边形是菱形
B. 一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
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【题目】下列事件为必然事件的是( )
A. 打开电视机,它正在播广告
B. 六边形的外角和是360°
C. 明天太阳从西方升起
D. 抛掷一枚硬币,一定正面朝上
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【题目】若一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为﹣1,则( )
A. a+b+c=0 B. a﹣b+c=0 C. ﹣a﹣b+c=0 D. ﹣a+b+c=0
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