Question

如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PE⊥OA交OA于E，PF⊥OB 交OB于F，Q是OC上的另一点，连接QE，QF．求证：QE=QF．

Answer 1

证明：∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∴∠OEP=∠OFP=90°，
又∵∠AOC=∠BOC（角平分线的性质），
∴∠OPE=∠OPF，（1分）
即OP平分∠EPF，
∴OE=OF，（4分）
在△OEQ和△OFQ中，
∴△OEQ≌△OFQ（SAS），（7分）
∴QE=QF．（8分）
分析：通过角平分线OP的性质、垂直的性质以及三角形的内角和定理推知OP平分∠EPF，则由角平分线上的一点到两边的距离相等的性质知OE=OF；然后根据全等三角形的判定定理SAS判定△OEQ≌△OFQ，所以全等三角形的对应边相等，即QE=QF．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质．本题充分利用了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质．