Question

9．在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，两直角边分别为1，2的三角形纸片按如图所示放置，若该纸片在△ABC内任意平移，求△ABC内不能被平移到的部分的面积和．

Answer 1

分析 当CD边平移到C′D′位置时，过D′F⊥AC于F，根据全等三角形的想知道的D′F=CE=2，C′F=DE=1，根据相似三角形的性质得到$\frac{D′F}{BC}=\frac{AF}{AC}$，于是得到S_△AD′C′=$\frac{1}{2}$AC′•D′F=$\frac{1}{2}×$$\frac{5}{2}$×2=$\frac{5}{2}$，当ED边平移到E′D″位置时，根据相似三角形的性质得到$\frac{D″E′}{AC}=\frac{BE′}{BC}$，于是得到S_△BD″E′=$\frac{1}{2}$BE′•D″E′=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$×1=$\frac{2}{3}$，即可得到结论．

解答 解：当CD边平移到C′D′位置时，
过D′F⊥AC于F，
则△C′D′F≌△CDE，
∴D′F=CE=2，C′F=DE=1，
∵∠C=90°，
∴∠AFD′=∠C，
∴D′F∥BC，
∴△AD′F≌△ABC，
∴$\frac{D′F}{BC}=\frac{AF}{AC}$，
∴AF=$\frac{3}{2}$，
∴S_△AD′C′=$\frac{1}{2}$AC′•D′F=$\frac{1}{2}×$$\frac{5}{2}$×2=$\frac{5}{2}$，
当ED边平移到E′D″位置时，
∴D″E′=1，
∵D″E′∥AC，
∴△BD″E′∽△ABC，
∴$\frac{D″E′}{AC}=\frac{BE′}{BC}$，
∴BE′=$\frac{4}{3}$，
∴S_△BD″E′=$\frac{1}{2}$BE′•D″E′=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$×1=$\frac{2}{3}$，
∴△ABC内不能被平移到的部分的面积和=S_△AD′C+S_△BD″E′=$\frac{19}{6}$．

点评 本题考查了平移的性质，三角形面积的计算，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意，知道△ABC内不能被平移到的部分的面积和=S_△AD′C+S_△BD″E′是解题的关键．