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【题目】如图,已知点B的坐标是(-20),点C的坐标是(80),以线段BC为直径作⊙A,交y轴的正半轴于点D,过BCD三点作抛物线.

1)求抛物线的解析式;

2)连结BDCD,点EBD延长线上一点,∠CDE的角平分线DF交⊙A于点F,连结CF,在直线BE上找一点P,使得△PFC的周长最小,并求出此时点P的坐标;

3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在点G,使得∠GFC=DCF,若存在,请直接写出点G的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1;(2;(3

【解析】

1)由BC是直径证得∠OCD=BDO,从而得到△BOD∽△DOC,根据线段成比例求出OD的长,

设抛物线解析式为y=a(x+2)(x-8),将点D坐标代入即可得到解析式;

2)利用角平分线求出,得到,从而得出点F的坐标(3,5),再延长延长CD至点,可使,得到(-88),求出F的解析式,与直线BD的交点坐标即为点P,此时△PFC的周长最小;

3)先假设存在,①利用弧等圆周角相等把点DF绕点A顺时针旋转90,使点F与点B重合,点G与点Q重合,则Q1(73),符合,求出直线FQ1的解析式,与抛物线的交点即为点G1,②根据对称性得到点Q2的坐标,再求出直线FQ2的解析式,与抛物线的交点即为点G2,由此证得存在点G.

1)∵以线段BC为直径作⊙A,交y轴的正半轴于点D,

∴∠BDO+ODC=90,

∵∠OCD+ODC=90,

∴∠OCD=BDO,

∵∠DOC=DOB=90,

∴△BOD∽△DOC,

,

B-20)C80)

,

解得OD=4(负值舍去),∴D0,4

设抛物线解析式为y=a(x+2)(x-8),

4=a(0+2)(0-8),

解得a=

∴二次函数的解析式为y=(x+2)(x-8),.

2)∵BC为⊙A的直径,且B-20)C80)

OA=3,A(3,0),

∴点EBD延长线上一点,∠CDE的角平分线DF交⊙A于点F

,

连接AF,则,

OA=3AF=5

F(35)

∵∠CDB=90,

∴延长CD至点,可使,

(-88)

连接FBE于点P,再连接PFPC

此时△PFC的周长最短,

解得F的解析式为

BD的解析式为y=2x+4,

可得交点P.

3)存在;假设存在点G,使∠GFC=DCF

设射线GF交⊙A于点Q,

①∵A(30),F(35),C(80),D(04),

∴把点DF绕点A顺时针旋转90,使点F与点B重合,点G与点Q重合,则Q1(73),符合

F(35),Q1(73),

∴直线FQ1的解析式为

,得(舍去),

G1

Q1关于x轴对称点Q2(7-3),符合

F(35),Q2(73),

∴直线FQ2的解析式为y=-2x+11,

,得(舍去),

G2

综上,存在点G,使得∠GFC=DCF.

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