Question

【题目】如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=8，BC=16，将矩形纸片沿EF折叠，使点C与点A重合．

（1）判断△AEF的形状，并说明理由；

（2）求折痕EF的长度；

（3）如图2，展开纸片，连接CF，则点E到CF的距离是　 　．

Answer 1

【答案】（1）△DEF是等腰三角形，理由见解析；（2）；（3）8

【解析】

（1）根据折叠和平行的性质，可得∠AEF=∠AFE，即得出结论；

（2）过点E作EM⊥AD于点M，得出四边形ABEM是矩形，设EC=x，则AE=x，BE=16-x，在Rt△ABE中，利用勾股定理求出x，在Rt△EMF中，用勾股定理即可求得；

（3）证明四边形AECF是菱形，设点E到CF的距离为h，通过面积相等，即可求得．

（1）△AEF是等腰三角形．

理由如下：由折叠性质得∠AEF=∠FEC，

在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠AFE=∠FEC，

∴∠AEF=∠AFE， ∴AF=AE；

∴△AEF是等腰三角形；

故答案为：△AEF是等腰三角形．

（2）如图，过点E作EM⊥AD于点M，

则∠AME=90°，

又∵在矩形ABCD中，∠BAD=∠B=90°，

∴四边形ABEM是矩形，

∴AM=BE，ME=AB=8，

设EC=x，则AE=x，BE=16-x，

在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2，x2=82+(16-x)2，

解之得x=10，

∴EC=AE=10，BE=6，

∴AM=6，AF=AE=10，

∴MF=AF-AM=4，

在Rt△EMF中，；

故答案为：；

（3）由（1）知，AE=AF=EC，

∵AF∥EC，

∴四边形AECF是平行四边形，

∴四边形AECF是菱形，

设点E到CF的距离为h，

，

∴h=8．即E到CF的距离为8，

故答案为：8．