Question

如图，直线l与⊙O相交于A，B两点，AC是⊙O的直径，D是⊙O上一点，DE⊥l于点 E，连结AD，且AD平分∠CAM．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE=6，AE=2

3

，求⊙O的半径；
（3）在第（2）小题的条件下，则图中阴影部分的面积为

8π-12

3

．

Answer 1

分析：（1）连结OD，由OA=OD得∠OAD=∠ODA，由AD平分∠CAM得∠OAD=∠DAE，则∠ODA=∠DAE，所以DO∥AB，利用DE⊥AB得到DE⊥OD，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连结DC，先利用勾股定理计算出AD=4

3

，由AC是⊙O直径得到∠ADC=90°，易证得△ACD∽△ADE，利用相似比可计算出AC，即可得到圆的半径；
（3）连结OB，由AE=2

3

，AD=4

3

可得∠AED=60°，而AD平分∠CAM，易得∠EAO=120°，则∠OAB=60°，所以△OAB为等边三角形，于是∠AOB=60°，
然后根据扇形面积公式和阴影部分的面积=S_扇形OAB-S_△OAB进行计算即可．

解答：（1）证明：连结OD，如图，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠CAM，
∴∠OAD=∠DAE，
∴∠ODA=∠DAE．
∴DO∥AB，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，
∵OD是半径，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：∵∠AED=90°，DE=6，AE=2

3

，
∴AD=

DE2+AE2

=

62+(2 3 )2

=4

3

，
连结CD，
∵AC是⊙O直径，
∴∠ADC=90°，
而∠AED=90°，
又∵∠CAD=∠DAE，
∴△ACD∽△ADE，
∴

AD

AE

=

AC

AD

，即

4 3

2 3

=

AC

4 3

，
解得AC=8

3

．
∴⊙O的半径4

3

；

（3）连结OB，如图，
在Rt△ADE中，AE=2

3

，AD=4

3

，
∴∠ADE=30°，
∴∠AED=60°，
而AD平分∠CAM，
∴∠EAO=120°，
∴∠OAB=60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴阴影部分的面积=S_扇形OAB-S_△OAB
=

60•π•(4 3 )2

360

-

3

4

×（4

3

）²
=8α-12

3

．
故答案为8π-12

3

．

点评：本题考查了圆的切线的判定：过半径的外端点，与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了勾股定理、扇形的面积公式以及三角形相似的判定与性质．