Question

2．在如图所示的平面直角坐标系中，直线y=-x+8与x轴、y轴分别交于A、E两点，点B在线段AE上，且AB=6$\sqrt{2}$．
（1）求经过A、B、O三点的抛物线的解析式；
（2）点D是线段AB上一动点（不与A、B重合），过D作DM∥OB交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于N，过D作DF⊥MC于点F，设DF的长为x，MN的长为y，求y与x之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，连ON，点G在线段BD上，过点G作GP∥MN交ON于点P，连MG，BP，S_△CAN=S_△DMN，当∠MGP-∠BPN=45°时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求出直线y=-x+8与x轴交点A的坐标，设B点坐标为（x，-x+8），根据AB=6$\sqrt{2}$列出方程（x-8）²+（x-8）²=72，解方程求出x的值，确定B点坐标．再设经过A、B、O三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx，将A，B两点坐标代入，利用待定系数法即可求出经过A、B、O三点的抛物线的解析式；
（2）已知MN=y，DF=x，由图可知MN=MF+FN，不妨将MF和FN用DF代替，即可得到MN与DF的关系：利用45°的直角三角形和平行线性质可推得FN=DF=x，∠MDF=∠BOH，再利用tan∠BOH=tan∠MDF，得$\frac{BH}{OH}$=$\frac{MF}{DF}$=3，从而有MF=3DF=3x，从而得出y与x之间的函数关系式；
（3）过点N作NL⊥GP于点L，由图象可知P点横坐标为OC-LN，纵坐标为CN-PL．OC=OA-AC，其中OA已知，利用S_△CAN=S_△DMN求得AC=2x，再将用x表示的M点坐标代入抛物线解析式求得x值，即得AC的值，又由（2）中AC=CN，可知CN，则求得LN和PL的值是关键．根据tan∠LNP=tan∠NOC，可得$\frac{PL}{LN}$=$\frac{CN}{OC}$=$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$，设PL=n，则LN=3n，由勾股定理得出PN的值，再利用已知条件证得△DMG∽△NBP，建立比例式求得n值，即可得出LN和PL的值，从而得到P的坐标．

解答 解：（1）∵直线y=-x+8与x轴交于点A，
∴A（8，0），
设B点坐标为（x，-x+8），
∵AB=6$\sqrt{2}$，
∴（x-8）²+（x-8）²=72，
∴x₁=2，x₂=14（不合题意舍去），
∴B点坐标为（2，6）．
设经过A、B、O三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx，
∵A（8，0），B（2，6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{64a+8b=0}\\{4a+2b=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴经过A、B、O三点的抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+4x；

（2）如图，作BH⊥x轴于点H，延长MD交x轴于点K，
∵B（2，6），A（8，0），
∴OH=2，BH=6，OA=8，
∴AH=6，
∴AH=BH，
∵∠BHA=90°，∠BAH=∠ABH=45°，
∵MC⊥x轴，∴∠ANC=∠BAH=45°，
∴∠DNF=∠ANC=45°，
∵DF⊥MC，
∴∠FDN=∠DNF=45°，
∴NF=DF=x，
∵∠DFM=∠KCM=90°，
∴DF∥KC，
∴∠MDF=∠MKC，
∵MK∥OB，∴∠MKC=∠BOH，
∴∠MDF=∠BOH，
∴tan∠BOH=tan∠MDF，
∴$\frac{BH}{OH}$=$\frac{MF}{DF}$=3，
∴MF=3DF=3x，
∵MN=MF+FN，
∴y=3x+x=4x，
即y与x之间的函数关系式为y=4x；

（3）如图，由（2）知，DF=x，MN=4x，
则S_△DMN=$\frac{1}{2}$MN×DF=$\frac{1}{2}$×4x×x=2x²，
∵∠CAN=∠ANC，
∴CN=AC，
∴S_△ACN=$\frac{1}{2}$AC²，
∵S_△CAN=S_△DMN，
∴$\frac{1}{2}$AC²=2x²，
∴AC=2x，
∴CN=2x，
∴MC=MN+CN=6x，
∴OC=OA-AC=8-2x，
∴M（8-2x，6x），
由（1）知抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x²+4x，
将M（8-2x，6x）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+4x，
得：-$\frac{1}{2}$（8-2x）²+4（8-2x）=6x，
解得：x₁=0（舍），x₂=1，
∴DF=NF=1，AC=CN=2，OC=6，MF=3，DN=$\sqrt{2}$，DM=$\sqrt{10}$，AN=2$\sqrt{2}$，
∵AB=6$\sqrt{2}$，
∴BN=4$\sqrt{2}$．
作NL⊥GP于点L，
∵GP∥MN，
∴∠MNL=∠PLN=90°，∠PGN=∠GNM=45°，
∴∠MNL=∠NCO，
∴NL∥OC，
∴∠LNP=∠NOC，
∴tan∠LNP=tan∠NOC，
∴$\frac{PL}{LN}$=$\frac{CN}{OC}$=$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$，
设PL=n，则LN=3n，
∴PN=$\sqrt{10}$n，GN=3$\sqrt{2}$n，
∴DG=GN-DN=3$\sqrt{2}$n-$\sqrt{2}$，
∵ON=$\sqrt{C{N}^{2}+O{C}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
OB=$\sqrt{O{H}^{2}+B{H}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∴OB=ON，∴∠OBN=∠BNO，
∵DM∥OB，
∴∠OBD=∠MDB，
∴∠MDB=∠BNO，
∵∠MGP-∠BPN=45°，∠MGP=∠MGN+∠PGN=∠MGN+45°，
∴∠BPN=∠MGN，
∴△DMG∽△NBP，
∴$\frac{DG}{NP}$=$\frac{DM}{NB}$，
∴$\frac{3\sqrt{2}n-\sqrt{2}}{\sqrt{10}n}$=$\frac{\sqrt{10}}{4\sqrt{2}}$，
解得：n=$\frac{4}{7}$，
∴P的横坐标为：6-3×$\frac{4}{7}$=$\frac{30}{7}$，P的纵坐标为：2-$\frac{4}{7}$=$\frac{10}{7}$，
∴点P的坐标为（$\frac{30}{7}$，$\frac{10}{7}$）．

点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求二次函数的解析式，平行线的判定与性质，锐角三角函数的定义，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合性较强，有一定难度．准确作出辅助线利用数形结合是解题的关键．