Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，BD⊥CD．
（1）求sin∠DBC的值；
（2）若BC长度为4cm，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题目已知条件可知，在Rt△CDB中∠C=2∠DBC，则即可求得∠DBC=30°，从而确定sin∠DBC的值；
（2）要求梯形ABCD的面积需要求得梯形的高，则需过D点向BC边作垂线DF，则根据三角函数可以求得BD的长，继而求得DF的长，即可求梯形的面积．
解答：解：（1）∵AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD．
∵AD∥CB，
∴∠DBC=∠ADB=∠ABD．
∵在梯形ABCD中，AB=CD，
∴∠ABD+∠DBC=∠C=∠ABD+∠ADB=2∠DBC．
∵BD⊥CD，
∴3∠DBC=90°，
∴∠DBC=30°．
∴sin∠DBC=．

（2）过D作DF⊥BC于F，
在Rt△CDB中，BD=BC×cos∠DBC=2（cm），
在Rt△BDF中，DF=BD×sin∠DBC=（cm），
∴S_梯=（2+4）•=3（cm²）．
点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用以及梯形的性质，熟练掌握好边角之间的关系是解决本题的关键．