Question

如图，点P是半径为6的⊙O外一点，过点P作⊙O的割线PAB，点C是⊙O上一点，且PC²=PA•PB．求证：
（1）PC是⊙O的切线；
（2）若sin∠ACB=

5

3

，求弦AB的长；
（3）已知在（2）的条件下，点D是劣弧AB的中点，连接CD交AB于E，若AC：BC=1：3，求CE的长．

Answer 1

分析：（1）连接CO并延长交⊙O于M，连接AM，根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似得到△PAC∽△PCB，从而得到∠PCA=∠B，再根据角之间的关系可得到CM⊥PC即PC是⊙O的切线；
（2）连接AO，并延长AO交⊙O于N，连接BN，根据同弧所对角相等得到∠N=∠ACB，已知AN的长及sin∠ACB的值，根据三角函数公式即可求得AB的长；
（3）连接OD交AB于F，由已知可推出△PCA∽△PBC，根据对应边的相似比相等可求得PA，PC的长，再根据勾股定理求得OF的长，那么再求CE的长就不难了．

解答：（1）证明：连接CO并延长交⊙O于M，连接AM，
∵PC²=PA•PB，
∴

PC

PA

=

PB

PC

．
∵∠P=∠P，
∴△PAC∽△PCB，∠PCA=∠B．
∵∠B=∠M，
∴∠M=∠PCA．
∵CM是直径，
∴∠MAC=90°．
∴∠ACM+∠M=90°．
∴∠ACM+∠PCA=90°．
即∠PCM=90°．
∴CM⊥PC．
∴PC是⊙O的切线．

（2）解：连接AO，并延长AO交⊙O于N，连接BN，
∵AN是直径，
∴∠ABN=90°∠N=∠ACB，AN=12．
在Rt△ABN中，AB=ANsin∠ACB=12sin∠ACB=12×

5

3

=4

5

．

（3）解：连接OD交AB于F，
∴OD⊥AB．
∵D是劣弧AB的中点，
∴∠ACD=∠BCD．
∵∠PCA=∠B，
∴∠PCE=∠PEC．
∴PC=PE由△PCA∽△PBC得PC=3PA．
∵PC²=PA•PB，
∴9PA²=PA•PB．
∴9PA=PB=PA+AB．
∴8PA=AB=4

5

．
∴PA=

5

2

．
∴PC=PE=

3 5

2

．
AE=

5

，AB=4

5

，AF=2

5

，EF=

5

在Rt△OAF中，可求得OF=4，
∴DF=OD-OF=6-4=2，
∴DE=3．
∵AE•EB=DE•CE，
∴CE=5．

点评：此题主要考查学生对切线的判定，解直角三角形及相似三角形的判定等知识点的综合运用．