Question

12．如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在△ABC的外部，且AD⊥BD，AD交BC于点E，连结CD，过点C作CG⊥CD，交AD于点G．
（1）若CG=4，求DG的长；
（2）若CG=BD，求证：AB=AC+CE．

Answer 1

分析 （1）先利用三角形内角和证明∠CAE=∠EBD，再根据等角的余角相等得到∠ACG=∠ECD，则可利用“ASA”证明△ACG≌△BCD，得到CG=CD，然后可判断△CDG为等腰直角三角形，于是得到DG=$\sqrt{2}$CG=4$\sqrt{2}$；
（2）延长AC、BD，它们相交于点H，如图，先证明BD=CD，再证明DH=DB，则根据线段的垂直平分线的性质得AB=AH，接着证明△ACE≌△BCH得到CE=CH，所以AB=AC+CH=AC+CE．

解答 （1）解：∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∵∠ACB=90°，
而∠AEC=∠BED，
∴∠CAE=∠EBD，
∵CG⊥CD，
∴∠GCD=90°，
即∠GCE+∠ECD=90°，
而∠GCE+∠ACG=90°，
∴∠ACG=∠ECD，
在△ACG和△BCD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAG=∠CBD}\\{AC=BC}\\{∠ACG=∠BCD}\end{array}\right.$，
∴△ACG≌△BCD，
∴CG=CD，
∴△CDG为等腰直角三角形，
∴DG=$\sqrt{2}$CG=4$\sqrt{2}$；
（2）证明：延长AC、BD，它们相交于点H，如图，
∵CG=BD，
而CG=CD，
∴BD=CD，
∴∠DCB=∠DBC，
∵∠H+∠CBH=90°，∠CHD+∠DCB=90°，
∴∠H=∠HCD，
∴CD=HD，
∴DH=DB，
而AD⊥BH，
∴AB=AH，
在△ACE和△BCH中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠CBH}\\{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCH}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCH，
∴CE=CH，
∴AB=AC+CH=AC+CE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．也考查了线段垂直平分线的性质．