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    1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=$6\sqrt{3}$cm，BC=6cm，经过A，B的直线l以1cm/秒的速度向下作匀速平移运动，交BC于点B′，交CD于点 D′，与此同时，点P从点B′出发，在直线l上以1cm/秒的速度沿直线l向右下方向作匀速运动．设它们运动的时间为t秒．
    （1）你求出的AB的长是12cm；
    （2）过点C作CD⊥AB于点D，t为何值时，点P移动到CD上？
    （3）t为何值时，以点P为圆心、1cm为半径的圆与直线CD相切？
    （4）以点P为圆心、1cm为半径的⊙P与CD所在的直线相交时，是否存在点P与两个交点构成的三角形是等边三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．

    分析 （1）根据勾股定理即可求得结果；
    （2）由题可得∠BCD=30°，根据含30°的直角三角形的性质即可求得结果；
    （3）此题可分作两种情况，①当点P在CD左侧，⊙P与CD第一次相切时，②当点P在CD右侧，⊙P与CD第二次相切时，根据直线和圆的位置关系进行分析；
    （4）此题可分作两种情况，①当点P在CD左侧，②当点P在CD右侧，结合等边三角形的性质分析．

    解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=$6\sqrt{3}$cm，BC=6cm，
    ∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}=12$cm；
    故答案为：12cm；
    （2）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=$6\sqrt{3}$cm，BC=6cm，
    可得∠BCD=30°，
    ∴当点P移动到CD上时，有6-t=2t，
    解得：t=2，
    当t=2时，点P移动到CD上；
    （3）①当⊙P与CD第一次相切时，根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，得：
    3-$\frac{3}{2}$t=1，解得：t=$\frac{4}{3}$；
    ②⊙P与CD第二次相切时，根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，得：
    $\frac{3}{2}$t-3=1，解得：t=$\frac{8}{3}$；
    当t=$\frac{4}{3}$或t=$\frac{8}{3}$；
    （4）①当点P在CD左侧，点P与两个交点构成的三角形是等边三角形，2-t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
    解得：t=2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
    ②当点P在CD右侧，点P与两个交点构成的三角形是等边三角形，t-2=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
    解得：t=2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

    点评 此题考查了一次函数综合题．解题时，要求学生具有解直角三角形、直线和圆的位置关系等知识的综合应用能力，难度较大．此题考查圆的综合问题，知识点多，关键是根据圆与直线的关系进行分析．

    练习册系列答案
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    6．为了提高中学生身体素质，学校开设了A：篮球、B：足球、C：跳绳、D：羽毛球四种体育活动，为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况，在全校随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查的对象必须选择而且只能在四种体育活动中选择一种），将数据进行整理并绘制成以下两幅统计图（未画完整）．

    （1）这次调查中，一共调查了200名学生；
    （2）请补全两幅统计图；
    （3）若有3名喜欢跳绳的学生，1名喜欢足球的学生组队外出参加一次联谊活动，欲从中选出2人担任组长（不分正副），求一人是喜欢跳绳、一人是喜欢足球的学生的概率．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    7．如图（1），∠ABC=90°，O为射线BC上一点，OB=4，以点O为圆心，$\frac{1}{2}$BO长为半径作⊙O交BC于点D、E．
    （1）当射线BA绕点B顺时针方向旋转360°，若BA与⊙O相切时，那么BA旋转了多少度？
    （2）若射线BA绕点B按顺时针方向旋转与⊙O相交于M、N两点（如图（2）），MN=2$\sqrt{2}$，求$\widehat{MN}$的长．

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    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    4．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=6，OC=4．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA．则
    （1）点D的坐标为（t+2，$\frac{1}{2}$t）；（2）t=3时，△DPA的面积最大为$\frac{9}{4}$；
    （3）△DPA不能成为直角三角形；（4）随着点P的运动，点D运动路线的长为2$\sqrt{13}$．
    上述结论正确的有（　　）
    A．1个B．2个C．3个D．4个

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    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    11．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于（　　）
    A．60°B．55°C．45°D．30°

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    6．如图，△ABD、△AEC都是等边三角形．
    （1）如图1，求证：BE=DC．
    （2）如图2，若H，G分别为DC，BE的中点，试探究当∠BAC的度数发生变化时，∠AGH的度数是否发生变化．若不变，请求出∠AGH的度数；若变化，请说明理由．
    （3）如图3，设BE，DC交于P，连接AP．式子①$\frac{PB+PC+2PA}{PD+PE}$和②$\frac{PB+PC+PA}{PD+PE}$中仅有一个的值为定值，请找出其中为定值的式子，求出其值．

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    13．解下列方程组：
    （1）$\left\{\begin{array}{l}{x-y=3}\\{3x-8y=14}\end{array}\right.$                      
    （2）$\left\{\begin{array}{l}{x+4y=14}\\{\frac{x-3}{4}-\frac{y-3}{3}=\frac{1}{12}}\end{array}\right.$．

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    10．下列运算错误的是（　　）
    A．（-a）（-a）2=-a3B．-2x2（-3x）=-6x4C．（-a）3（-a）2=-a5D．（-a）3（-a）3=a6

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    11．如图1，正方形ABCD，△AMN是等腰Rt△，∠AMN=90°，当Rt△AMN绕点A旋转时，边AM、AN分别与BC（或延长线图3）、CD（或延长线图3）相交于点E、F，连接EF，小明与小红在研究图1时，发现有这么一个结论：EF=DF+BE；为了解决这个问题，小明与小红，经过讨论，采取了以下方案：延长CB到G，使BG=DF，连接AG，得到图2，请你根据小明、小红的思路，结合图2，解决下列问题：
    （1）证明：△ADF≌△ABG；
    （2）根据图（3），①结论EF=DF+BE是否成立，如不成立，写出三线段EF、DF、BE的数量关系并证明．
    ②若CE=6，DF=2，求：正方形ABCD的边长以及△AEF中AE边上的高．

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