Question

某村计划修建一条水渠，其横断面是等腰梯形，底角B为120°，如图所示，已知等腰梯形ABCD两腰与底边BC的和为4m，则梯形的最大面积为

 

．

Answer 1

分析：过B作AD的垂线BE于点E，设AB=xm，利用x表示出高BE和AD、BC的长，利用x表示梯形的面积，然后利用函数的性质即可求解．

解答：解：过B作AD的垂线BE于点E．
则∠ABE=120°-90°=30°．
设AB=xm，则BC=4-2xm，
在直角△ABE中，BE=AB•cos∠ABE=

3

2

xm，AE=

1

2

AB=

1

2

xm，
则AD=x+BC=x+（4-2x）=4-xm，
则梯形ABCD的面积y=

1

2

（AD+BC）•BE=

1

2

（4-x+4-2x）•

3

2

x，
即y=-

3 3

4

x²+2x，
则当x=

2

3 3 2

=

4

3 3

=

4 3

9

时，最大值是：-

3 3

4

×（

4 3

9

）2+2×

4 3

9

=

4 3

9

（m²）．
故答案是：

4 3

9

．

点评：本题考查等腰梯形的计算和二次函数等知识，考查求函数的解析式和求函数的最值问题，求最值的问题常用的方法是转化为函数的问题求解．