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16、如图是某区部分街道示意图,其中CE垂直平分AF,AB∥DC,BC∥DF.从B站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公交车,路线1是B?D?A?E,路线2是B?C?F?E,请比较两条路线路程的长短,并给出证明.
分析:由于路线1的路程为BD+DA+AE,路线2的路程为BC+CF+FE,将问题变为比较它们的大小这一数学问题.
解答:解:这两条路线路程的长度一样.理由如下:
延长FD交AB于点G.
∵BC∥DF,AB∥DC,
∴四边形BCDG是平行四边形,
∴DG=CB.
在△FAG中,∵FE=AE,DE∥AG,
∴FD=DG,
∴CB=FD.
又∵BC∥DF,
∴四边形BCFD是平行四边形.
∴CF=BD.        ①
∵CE垂直平分AF,
∴AE=FE,FD=DA. ②
∴BC=DA.        ③
路线1的长度为:BD+DA+AE,路线2的长度为:BC+CF+FE,
综合①②③,可知路线1路程长度与路线2路程长度相等.
点评:本题是一个图形在交通方面的应用题,解此类图形应用题的关键是建立合理的数学模型,并利用图形知识来解决这一模型,从而解决实际问题.考查线段的垂直平分线的性质,平行四边形判定与性质,中位线等知识.
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