Question

8．如图，点D在边长为6的等边△ABC的边AC上，且AD=2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转60°，若此时点A和点D的对应点分别记作点E和点F，联结BF交边AC与点G，那么tan∠AEG=$\frac{3\sqrt{3}}{7}$．

Answer 1

分析 作GM⊥AE于M，则∠AMG=90°，由等边三角形的性质得出AB=BC=AC=6，∠BAC=∠ABC=60°，由旋转的性质得出△AEC≌△ABC，EF=AD=2，因此AE=CE=AB=6，∠EAC=∠ACE=60°，CF=CE-EF=4，得出AB∥CF，证出△ABG∽△CFG，得出对应边成比例$\frac{AG}{CG}=\frac{AB}{CF}$=$\frac{3}{2}$，求出AG，再求出AM，得出GM、ME，即可得出结果．

解答 解：如图所示：作GM⊥AE于M，
则∠AMG=90°，
∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴AB=BC=AC=6，∠BAC=∠ABC=60°，
由旋转的性质得：△AEC≌△ABC，EF=AD=2，
∴AE=CE=AB=6，∠EAC=∠ACE=60°，CF=CE-EF=4，
∴AB∥CF，
∴△ABG∽△CFG，
∴$\frac{AG}{CG}=\frac{AB}{CF}$=$\frac{6}{4}$=$\frac{3}{2}$，
∴AG=$\frac{3}{5}$AC=3.6，
∵∠AGM=90°-60°=30°，
∴AM=$\frac{1}{2}$AG=1$\frac{9}{5}$，
∴GM=$\sqrt{3}$AM=$\frac{9}{5}$$\sqrt{3}$，ME=AE-AM=$\frac{21}{5}$，
∴tan∠AEG=$\frac{GM}{ME}$=$\frac{\frac{9\sqrt{3}}{5}}{\frac{21}{5}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{7}$；
故答案为：$\frac{3\sqrt{3}}{7}$．

点评 本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握旋转的性质和等边三角形的性质，求出GM和ME是解决问题的关键．