Question

已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA=3，PB=4，PC=5．
求：∠APB的度数．（初二）

Answer 1

分析：先把△ABP旋转60°得到△BCQ，连接PQ，根据旋转性质可知△BCQ≌△BAP，由于∠PBQ=60°，BP=BQ，易知△BPQ是等边三角形，从而有PQ=PB=4，而PC=5，CQ=3，根据勾股定理逆定理易证△PQC是直角三角形，即∠PQC=90°，进而可求∠APB．

解答：解：把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△BCQ，连接PQ，
∵∠PBQ=60°，BP=BQ，
∴△BPQ是等边三角形，
∴PQ=PB=4，
而PC=5，CQ=4，
在△PQC中，PQ²+QC²=PC²，
∴△PQC是直角三角形，
∴∠BQC=60°+90°=150°，
∴∠APB=150°．

点评：本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理的逆定理、旋转的性质，解题的关键是考虑把PA、PB、PC放在一个三角形中，而旋转恰好能实现这一目标．