Question

16．已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，AM与A′M′分别是BC，B′C′上的中线，AB=A′B′，AC=A′C′，AM=A′M′，求证：△ABC≌△A′B′C′．

Answer 1

分析 延长AM到点E使AM=ME，连接BE，延长A′M′到点E′使A′M′=M′E′，可证得△AMC≌△EMB，△A′M′C′≌△E′M′B′，进一步可证得△ABE≌△A′B′E′，可得出∠BAC=∠B′A′C′，可证明△ABC≌△A′B′C′．

解答 证明：如图，延长AM到点E使AM=ME，连接BE，延长A′M′到点E′使A′M′=M′E′，
在△AMC和△EMB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=EM}\\{∠AMC=∠BME}\\{CM=BM}\end{array}\right.$，
∴△AMC≌△EMB（SAS），
∴BE=AC，
同理可理B′E′=A′C′，
∵AC=A′C′，
∴BE=B′E′，
∵AE=2AM，A′E′=2A′M′，且AM=A′M′，
∴AE=A′E′，
在△ABE和△A′B′E′中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=A′E′}\\{BE=B′E′}\\{AB=A′B′}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△A′B′E′（SSS），
∴∠BAE=∠B′A′E′，∠E=∠E′，
又∵∠E=∠MAC，∠E′=∠M′A′C′，
∴∠MAC=∠M′A′C′，
∴∠BAM+∠MAC=∠B′A′M′+∠M′A′C′，
即∠BAC=∠B′A′C′，
在△ABC和△A′B′C′中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=A′B′}\\{∠BAC=∠B′A′C′}\\{AC=A′C′}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，证明出∠BAC=∠B′A′C′是解题的关键．