Question

已知关于x的方程（a-1）x²+2x+a-1=0．
（1）若该方程有一根为2，求a的值及方程的另一根；
（2）当a为何值时，方程仅有一个根？求出此时a的值及方程的根．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：

分析：（1）把x=2代入方程，求出a的值，再把a代入原方程，进一步解方程即可；
（2）分两种情况探讨：①当a=1时，为一元一次方程；②当a≠1时，利用b²-4ac=0求出a的值，再代入解方程即可．

解答：解：（1）将x=2代入方程（a-1）x²+2x+a-1=0，
解得：a=

1

5

．
将a=

1

5

代入原方程得-

4

5

x²+2x-

4

5

=0，
解得：x₁=

1

2

，x₂=2．
∴a=

1

5

，方程的另一根为

1

2

．
（2）①当a=1时，方程为2x=0，
解得：x=0；
②当a≠1时，由b²-4ac=0得4-4（a-1）²=0，
解得：a=2或0．
当a=2时，原方程为：x²+2x+1=0，
解得：x₁=x₂=-1；
当a=0时，原方程为：-x²+2x-1=0，
解得：

x

′ 1

=

x

′ 2

=1．

点评：此题考查一元二次方程根的判别式，以及探讨方程有一根的两种情况：一元一次方程和一元二次方程有两个相等的实数根．