Question

【题目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，BC=2，D是AB的中点，直线BM∥AC，E是边CA延长线上一点，将△EDC沿CD翻折得到△E′DC，射线DE′交直线BM于点F．

（1）如图1，当点E′与点F重合时，求证：四边形ABE′C为平行四边形；

（2）如图2，延长ED交线段BF于点G．

①设BG=x，GF=y，求y与x的函数关系式；

②若△DFG的面积为3，求AE的长．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) ①y=;②

【解析】分析：（1）由翻折的性质得到∠ACD=∠E′CD，再由△ACD为等边三角形，得到∠ADC=∠ACD，由等量代换得到∠ADC=∠DCE′，进而得到AB∥CE′，即可得到结论．

（2）①解Rt△ABC得到AB=4， BD=2，再证明△BDG∽△BFD， 得到，即可得到结论．

②由△BDG≌△ADE，得到BG=AE=x．过点D作DH⊥BM于点H，易得DH的长．

由S△DFG=GF·DH，得到GF的长 ，解方程即可得到结论．

详解：（1）由翻折得∠ACD=∠E′CD．在Rt△ABC中，∵D为AB的中点，∴AD=CD．

又∵∠BAC=60°，∴△ACD为等边三角形，∴∠ADC=∠ACD，∴∠ADC=∠DCE′，

∴AB∥CE′．

又∵AC∥BE′，∴四边形ABE′C为平行四边形．

（2）①在Rt△ABC中，∵BC=2，∠BAC=60°，∴AB=4，∴BD=2．

又∵BM∥CE，∴∠BGD=∠DEC，

由翻折得：∠DEC=∠DE′C．

又∵AB∥CE′，∴∠DE′C=∠BDF，∴∠BGD=∠BDF，

∴△BDG∽△BFD， ∴，

∴4=x(x+y)，∴y=．

②易证△BDG≌△ADE，∴BG=AE=x．

过点D作DH⊥BM于点H．

∵D为AB的中点，可得DH=BC=．

∵S△DFG=GF·DH=3，∴GF=6 ，

∴=6，∴x=．

又∵x>0，∴x=，∴AE=．